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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Fr 20.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeige: Wenn ab= [mm] c^n [/mm] (mit a,b,c,n [mm] \in \IN [/mm] und ggT(a,b)=1) dann sind a und b ebenfalls n-te Potenzen natürlicher Zahlen. |
Also es ist zuzeigen, dass [mm] \exists \alpha, \beta [/mm] : a= [mm] \alpha^n, [/mm] b = [mm] \beta^n
[/mm]
Primfaktorenzerlegung:
a = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i}
[/mm]
b = [mm] \produkt_{j=1}^{m} q_j^{\beta_j}
[/mm]
Und wegen ggT(a,b)=1 gilt [mm] p_i \not= q_j \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,n\}, [/mm] j [mm] \in \{1,..,m\}
[/mm]
a* b [mm] =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i} *\produkt_{j=1}^{m} q_j^{\beta_j}=c^n
[/mm]
Ich weiß nicht ob ich am richtigen weg bin und was ich nun machen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Fr 20.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib auch die primfaktorzerlegung von c hin, dann [mm] c^n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Fr 20.04.2012 | | Autor: | sissile |
hallo,
die von c? naja auch so allgemein wie a und b?
c = $ [mm] \produkt_{s=1}^{x} w_s^{\gamma_s} [/mm] $
a* b $ [mm] =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{\alpha_i} \cdot{}\produkt_{j=1}^{m} q_j^{\beta_j}=c^n [/mm] =( [mm] \produkt_{s=1}^{x} w_s^{\gamma_s} $)^n
[/mm]
Jeder Primfaktore vom [mm] c^n [/mm] geht entweder in a oder b auf, aber nicht in a und b da ggT(a,b)=1. Lässt sich Menge der Primfaktoren von [mm] c^n [/mm] in zwei Mengen aufteilen.Daraus schließt man, dass beide selber nte Potenzen sind.
Und nun wenn das intuitiv richtig ist, muss ich das noch korrekt formal aufschreiben können. Hast du dazu noch einen Tipp, Anregung?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:41 Fr 20.04.2012 | | Autor: | sissile |
Oder reicht die intuitive Formulierung schon aus?
Ich frag nur nochmals nach, da meine Abgabe bevorsteht ;))
Liebe Grüße
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moin sissile,
Deine Intuition reicht fast.
Fürs formale Aufschreiben nimm mal an, dass [mm] $w_1 \ldots w_k$ [/mm] in der Primfaktorzerlegung von $a$ stecken und [mm] $w_{k+1} \ldots w_x$ [/mm] in der von $b$.
Begründe dann, wie du es bereits gemacht hast (einfach deine Intuition in 1-2 Sätzen hinschreiben), wieso du sie so aufteilen kannst.
Dann gucke dir die Potenzen an und begründe, wieso jede durch $n$ teilbar ist; denn dann ist $a$ bzw. $b$ ja $n-$te Potenz einer natürlichen Zahl.
Und wenn du volle Punktzahl haben möchtest noch ein Tipp, was du ebenfalls nicht außer Acht lassen solltest: Wieso haben $a$ und $b$ überhaupt Primfaktorzerlegungen?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 20.04.2012 | | Autor: | sissile |
hallo
> Dann gucke dir die Potenzen an und begründe, wieso jede durch $ n $ teilbar ist; denn dann ist $ a $ bzw. $ b $ ja $ n- $te Potenz einer natürlichen Zahl.
Wenn sich die Menge der Primfaktoren von [mm] c^n [/mm] aufspalten lässt, in die Primfaktorzerlegung von a und b. Dann hat die Primfaktorzerlegung von a und b jeweils wie [mm] c^n [/mm] n-te Potenz.
[mm] c^n [/mm] =( [mm] \produkt_{s=1}^{x} w_s^{\gamma_s} )^n [/mm]
[mm] c^n [/mm] soll durch n teilbar sein?
Warum brauche ich das für meine ARgumentation?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 20.04.2012 | | Autor: | leduart |
Gallo
niemand sagt [mm] c^n [/mm] soll surch n teilbar sein!
da steht :
!Dann gucke dir die Potenzen an und begründe, wieso jede durch $ n $ teilbar ist!
was du geschrieben hast kann ich nicht verstehen, wo ist der Zusammenhang deiner [mm] w_i [/mm] mit den [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] itgemdwo sollte man auch noch "eindeutihkeit der primzahlzerlegung sagen!
Also formulier jetzt mal das ganze, nicht als Stenogramm !
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:36 Fr 20.04.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
egal passt schon
danke für die hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Sa 21.04.2012 | | Autor: | sissile |
Und stimmt es nun?
Ich weiß, ich bin ungeduldig^^
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was soll stimmen?
die Behauptung stimmt, dein Beweis ist bisher keiner.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 22.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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