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| Aufgabe | <br>
Zeigen sie: (p+1)(p+2)(p+3) ist durch 8 (bzw. 24) teilbar für p [mm] \geq[/mm] 5 und p [mm] \in \IP[/mm] also Primzahl. |
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Da bin ich jetzt am überlegen. Zuerst dachte ich evtl mit Induktion, aber es ist wohl auch möglich, das Ganze direkt zu beweisen.
Eine Zahl ist ja durch 8 teilbar, wenn die letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar sind, aufgrund von 8 = [mm]2^3[/mm] und der Teilbarkeitsregel durch 2.
Eine Zahl ist durch 24 teilbar für Primzahlen größer 3, falls man (p-1)(p+1) damit macht.
Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, dann müßten die Klammern der Aufgabe ausmultipliziert folgendes ergeben: [mm]p^3 + 6p^2 +11p +6[/mm]
Ab da hänge ich irgendwie fest.
Ich könnte mir nur gerade vorstellen, dass ich mit der Teilbarkeit durch 24, auch die durch 8 mit erschlage, da 8*3 =24 ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 So 11.08.2013 | | Autor: | abakus |
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> Zeigen sie: (p+1)(p+2)(p+3) ist durch 8 (bzw. 24) teilbar
> für p [mm]\geq[/mm] 5 und p [mm]\in \IP[/mm] also Primzahl.
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> Da bin ich jetzt am überlegen. Zuerst dachte ich evtl mit
> Induktion, aber es ist wohl auch möglich, das Ganze direkt
> zu beweisen.
> Eine Zahl ist ja durch 8 teilbar, wenn die letzten 3
> Ziffern durch 8 teilbar sind, aufgrund von 8 = [mm]2^3[/mm] und der
> Teilbarkeitsregel durch 2.
> Eine Zahl ist durch 24 teilbar für Primzahlen größer 3,
> falls man (p-1)(p+1) damit macht.
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> Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, dann müßten
> die Klammern der Aufgabe ausmultipliziert folgendes
> ergeben: [mm]p^3 + 6p^2 +11p +6[/mm]
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> Ab da hänge ich irgendwie fest.
> Ich könnte mir nur gerade vorstellen, dass ich mit der
> Teilbarkeit durch 24, auch die durch 8 mit erschlage, da
> 8*3 =24 ist.
Hallo,
da 3 und 8 teilerfremd sind genügt es tatsächlich, die Teilbarkeiten durch 3 und durch 8 separat nachzuweisen.
(p+1)(p+2)(p+3) ist das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen. Macht es Klick?
Weiter: Alle Primzahlen ungleich 2 (die hier ja ausgeschlossen wurde) sind ungerade.
Was bedeutet das für p+1, p+2 und p+3 (und was bedeutet das für das Produkt dieser 3 Zahlen)?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
wie bereits Abakus geschrieben hat geht der Beweis über die Teilbarkeit von 3 und 8.
Wenn du dir jetzt überlegst, daß man jede Primzahl p auch als p=x*k+r ausdrücken kannst, wobei x,k,r [mm] \in \IR [/mm] sind, dann klappt das  ))
Grüße,
Micha
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| Aufgabe | <br>
Hallo,
da 3 und 8 teilerfremd sind genügt es tatsächlich, die Teilbarkeiten durch 3 und durch 8 separat nachzuweisen.
(p+1)(p+2)(p+3) ist das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen. Macht es Klick?
Weiter: Alle Primzahlen ungleich 2 (die hier ja ausgeschlossen wurde) sind ungerade.
Was bedeutet das für p+1, p+2 und p+3 (und was bedeutet das für das Produkt dieser 3 Zahlen)?
Gruß Abakus |
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Da ich das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen habe, muss diese Zahl ja durch 3 teilbar sein, da eine der drei Zahlen ja durch 3 teilbar ist.
Somit hätte ich ja die Teilbarkeit durch 3 erledigt?
p+1 und p+3 wären dann immer gerade und p+3 immer ungerade.
somit hätten wir das produkt aus 2 ungeraden und einer geraden Zahl, was als Ergebnis eine Gerade Zahl wäre, die zumindest durch 2 Teilbar ist, wenn nicht sogar durch 4, da jede Gerade Zahl größer 2 ja entweder durch 2 oder 4 teilbar ist, da es sich um vielfache davon handelt. Nur wie bekomme ich da jetzt noch die 8 rein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 So 11.08.2013 | | Autor: | wauwau |
p+1 und p+3 sind zwei aufeinanderfolgende gerade zahlen.
Da ist eine durch 2 und die ander durch ? teilbar!
z.B. 2,4
12,14
100,102
Na klingelts?
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<br>Dann müsste die andere Zahl durch 4 teilbar sein. Nur wie schaffe ich dann jetzt den Sprung zur 8 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 11.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Es istp [mm] \ge [/mm] 5 und ungerade, also
p=2n+1 mit n [mm] \ge2.
[/mm]
dann ist
(p+1)(p+3)=(2n+2)(2n+4)=4(n+1)(n+2).
(p+1)(p+3) ist also durch 4 teilbar.
Entweder ist n+1 gerade oder n+2 ist gerade .....
FRED
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Danke.. ich hatte wirklich Tomatenauf den Augen, wenn eine der beiden Zahlen gerade ist, muß sie ja auch durch 8 teilbar sein und ebenso durch 3, da jede dritte gerade zahl durch 3 teilbar ist, so richtig gedacht?
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Hallo Grapadura,
> Danke.. ich hatte wirklich Tomatenauf den Augen, wenn eine
> der beiden Zahlen gerade ist, muß sie ja auch durch 8
> teilbar sein
Nein, das ist falsch.
> und ebenso durch 3, da jede dritte gerade zahl
> durch 3 teilbar ist, so richtig gedacht?
Auch nicht. Oder Du formulierst kraus. Die Teilbarkeit durch 3 war doch schon erledigt. Genau eine der drei Zahlen p+1, p+2, p+3 ist durch 3 teilbar, also auch ihr Produkt.
Außerdem wissen wir, dass p+1 und p+3 gerade sind. Dann ist genau eine der beiden durch 4 teilbar, so dass (p+1)(p+3) auf jeden Fall die Faktoren 2 und 4 enthält.
Grüße
reverend
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Dann muss das ganze doch auch durch 8 teilbar sein, eben weil es durch 2 UND 4 teilbar ist und ja [mm] 4=2^2 [/mm] ist und die beiden faktoren ja miteinander multipliziert werden, oder?
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Hallo,
> Dann muss das ganze doch auch durch 8 teilbar sein,
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> eben
> weil es durch 2 UND 4 teilbar ist und ja [mm]4=2^2[/mm] ist und die
> beiden faktoren ja miteinander multipliziert werden, oder?
Das ist ein wenig unglücklich formuliert, aber du meinst das richtige. Wenn einer der geraden Faktoren bei Division durch 4 den Rest 2 lässt und somit den Primfaktor [mm] 2^1 [/mm] beisteuert, dann muss der andere mindestens durch [mm] 2^2=4 [/mm] teilbar sein und dein Produkt damit durch [mm] 2*2^2=2^3=8.
[/mm]
Gruß, Diophant
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