taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 22.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | berechnen sie für die fkt
[mm] f:\IR^2->\IR, [/mm] f(x,y)=sin(xy)
die terme der taylorformel für m=1 an der stelle [mm] \xi=(0,0) [/mm] mit dem restglied von lagrange [mm] R_1(\xi)(m=1 [/mm] heißt, dass in [mm] R_1(\xi) [/mm] partielle ableitungen 2. ordnung auftreten) |
hab so weit verstanden dass die hessische matrix brauch und wie man dahin kommt
lösung:
[mm] H_f(x,y)=\pmat{ -y^2sin(xy) & cos(xy)-xysin(xy) \\ cos(xy)-xysin(xy) & -x^2sin(xy) }
[/mm]
dann steht was was icheinfach nicht versteh was das ist und wie man dahin kommt:
[mm] h=(h1,h2)\in\IR^2
[/mm]
[mm] f(h)=\bruch{-h1^2\lambda^2h2^2sin(\lambda^2h1h2)+2h1h2cos(\lambda^2h1h2)-2h1^2h2^2\lamba^2sin(\lambda^2h1h2)-h1^2h2^2\lambda^2sin(\lambda^2h1h2)}{2!}
[/mm]
hab wieder [mm] \lambda [/mm] genommen, weil das andere unten nicht steht, und bei [mm] h1^2 [/mm] und [mm] h2^2 [/mm] sollten 1 und 2 untenstehen, ich weiß aber nicht wie das zusammen mit ^2 geht, deshalb jetzt bisschen hässlich, sorry
lg
ki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Sa 23.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was da steht ist für mich so völlig unlesbar, dass es wohl auch anderen so geht, was das [mm] \lambda [/mm] sin soll weiss ich nicht, meinst du [mm] \xi?
[/mm]
alle griechischen buchstaben mit backslash Name schreiben.
vielleicht siehst dus fir in wiki unter Taylorpolynom noch mal an?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
[mm] f(h)=\bruch{-h_{1}^2\theta^2h_{2}^2sin(\theta^2h_1h_2)+2h_1h_2cos(\theta^2h_1h_2)-2h_{1}^2h_{2}^2\theta^2sin(\theta^2h_1h_2)-h_{1}^2h_{2}^2\theta^2sin(\theta^2h_1h_2)}{2!}
[/mm]
[mm] h=(h_1,h_2) \in \IR^2
[/mm]
so, jetzt kann mans hoffentlich lesen
das sieht einfach nicht aus wie ne taylorpolynom, in den büchern stehts auch ohne welche erklärung, woher das kommt. deshalb wär ich für jede hilfe dankbar
ki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 23.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher hast du diese Formel denn? und was soll [mm] \Theta [/mm] sein.
mit Jakobi und Hesse geschrieben hast du doch bei Entwicklung um [mm] \xi=(0,0)
[/mm]
[mm] f(x,y)=f(0,0)+(f_x(0,0),f_y(0,0))*\vektor{x\\y}+0.5*(x,y)*H_f(0,0)*\vektor{x\\y}+Glieder [/mm] höherer Ordnung
für die ersten 3 Glieder, das letzte an einer Zwischenstelle genommen ist das Restglied.
So steht die formel z. Bsp in wiki oder Lehrbüchern, mit deiner kann ich nichts anfangen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
Hallo
> woher hast du diese Formel denn? und was soll [mm]\Theta[/mm]
> sein.
das steht halt im skript, aber ich beachte sie erst mal nicht mehr, verwirrt mich nur noch mehr
für die taylorformel habe ich jetzt 0 raus, also ohne restglied, stimmt das?
> mit Jakobi und Hesse geschrieben hast du doch bei
> Entwicklung um [mm]\xi=(0,0)[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=f(0,0)+(f_x(0,0),f_y(0,0))*\vektor{x\\y}+0.5*(x,y)*H_f(0,0)*\vektor{x\\y}+Glieder[/mm]
> höherer Ordnung
> für die ersten 3 Glieder, das letzte an einer
> Zwischenstelle genommen ist das Restglied.
> So steht die formel z. Bsp in wiki oder Lehrbüchern, mit
> deiner kann ich nichts anfangen.
danke trotzdem
ki
Gruss leduart
>
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Hallo kioto,
> Hallo
> > woher hast du diese Formel denn? und was soll [mm]\Theta[/mm]
> > sein.
> das steht halt im skript, aber ich beachte sie erst mal
> nicht mehr, verwirrt mich nur noch mehr
> für die taylorformel habe ich jetzt 0 raus, also ohne
> restglied, stimmt das?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > mit Jakobi und Hesse geschrieben hast du doch bei
> > Entwicklung um [mm]\xi=(0,0)[/mm]
> >
> >
> [mm]f(x,y)=f(0,0)+(f_x(0,0),f_y(0,0))*\vektor{x\\y}+0.5*(x,y)*H_f(0,0)*\vektor{x\\y}+Glieder[/mm]
> > höherer Ordnung
> > für die ersten 3 Glieder, das letzte an einer
> > Zwischenstelle genommen ist das Restglied.
> > So steht die formel z. Bsp in wiki oder Lehrbüchern,
> mit
> > deiner kann ich nichts anfangen.
> danke trotzdem
> ki
> Gruss leduart
> >
>
Gruss
MathePower
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Hallo kioto,
>
> hab so weit verstanden dass die hessische matrix brauch und
Mensch Meier, das hat doch nix mit dem Bundesland zu tun und heißt "Hessematrix" oder "Hessesche Matrix" nach Otto Hesse, der kein Hesse war, sondern Preuße.
Bitte zumindest etwas auf solche Dinge achten!
Danke
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Infinit |
Allerdings muss man zugeben, dass zu Lebzeiten Hesses ein Teil Hessens, nämlich das heutige Frankfurt, preußisch besetzt war 
Viele Grüße,
Infinit
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Hossa ;)
Die Funktion: [mm] $f:\Re^2\to\Re\,,\;f(x,y)=\sin(xy)$ [/mm] soll in eine Taylorreihe entwickelt werden. Die Taylor-Entwicklung lautet allgemein:
[mm] $f(\vec x+\Delta\vec x)=e^{\Delta\vec x\,\nabla}f(\vec [/mm] x)$
wobei [mm] $\nabla$ [/mm] der Nabla-Operator sein soll. In deinem Fall mit 2 Dimensionen ist [mm] $\nabla=\binom{\frac{\partial}{\partial x_1}}{\frac{\partial}{\partial x_2}} [/mm] $
Damit lautet die Taylorreihe für eine Abbildung von [mm] $\Re^2\to\Re$:
[/mm]
[mm] $f(\vec x+\Delta x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^nf(\vec [/mm] x)$
Du sollst die Reihe bis zur ersten Ordnung entwickeln und das Lagrange-Restglied angeben. Letzteres ist einfach die nächst höhere Ordnung, also hier die Ordnung 2:
[mm] $f(\vec x+\Delta x)=f(\vec x)+\Delta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\vec x)+\Delta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}f(\vec x)\quad;\quad R_1(x)=\frac{1}{2}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^2f(\vec x+\Theta\,\Delta\vec x)\quad,\quad\Theta\in[0;1]$
[/mm]
Der Rest ist nur noch Handwerk, einfach einsetzen und ausrechnen...
Viele Grüße
Hasenfuss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke hasenfuss!
es gibt also taylorpolynom und taylor reihen, aber woher weiß man was gefragt ist?
z.b. gegeben:
f(x,y)=e^xy, a=(0,0), 2. ordnung
was ist jetzt gefragt?
> Die Funktion: [mm]f:\Re^2\to\Re\,,\;f(x,y)=\sin(xy)[/mm] soll in
> eine Taylorreihe entwickelt werden. Die Taylor-Entwicklung
> lautet allgemein:
>
> [mm]f(\vec x+\Delta\vec x)=e^{\Delta\vec x\,\nabla}f(\vec x)[/mm]
>
> wobei [mm]\nabla[/mm] der Nabla-Operator sein soll. In deinem Fall
> mit 2 Dimensionen ist
> [mm]\nabla=\binom{\frac{\partial}{\partial x_1}}{\frac{\partial}{\partial x_2}}[/mm]
>
> Damit lautet die Taylorreihe für eine Abbildung von
> [mm]\Re^2\to\Re[/mm]:
>
> [mm]f(\vec x+\Delta x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^nf(\vec x)[/mm]
>
> Du sollst die Reihe bis zur ersten Ordnung entwickeln und
> das Lagrange-Restglied angeben. Letzteres ist einfach die
> nächst höhere Ordnung, also hier die Ordnung 2:
>
> [mm]f(\vec x+\Delta x)=f(\vec x)+\Delta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\vec x)+\Delta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}f(\vec x)\quad;\quad R_1(x)=\frac{1}{2}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^2f(\vec x+\Theta\,\Delta\vec x)\quad,\quad\Theta\in[0;1][/mm]
>
> Der Rest ist nur noch Handwerk, einfach einsetzen und
> ausrechnen...
>
> Viele Grüße
>
> Hasenfuss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> danke hasenfuss!
> es gibt also taylorpolynom und taylor reihen, aber woher
> weiß man was gefragt ist?
> z.b. gegeben:
> f(x,y)=e^xy, a=(0,0), 2. ordnung
> was ist jetzt gefragt?
Taylorpolynom 2. Ordnung
FRED
>
> > Die Funktion: [mm]f:\Re^2\to\Re\,,\;f(x,y)=\sin(xy)[/mm] soll in
> > eine Taylorreihe entwickelt werden. Die Taylor-Entwicklung
> > lautet allgemein:
> >
> > [mm]f(\vec x+\Delta\vec x)=e^{\Delta\vec x\,\nabla}f(\vec x)[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]\nabla[/mm] der Nabla-Operator sein soll. In deinem Fall
> > mit 2 Dimensionen ist
> > [mm]\nabla=\binom{\frac{\partial}{\partial x_1}}{\frac{\partial}{\partial x_2}}[/mm]
>
> >
> > Damit lautet die Taylorreihe für eine Abbildung von
> > [mm]\Re^2\to\Re[/mm]:
> >
> > [mm]f(\vec x+\Delta x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^nf(\vec x)[/mm]
>
> >
> > Du sollst die Reihe bis zur ersten Ordnung entwickeln und
> > das Lagrange-Restglied angeben. Letzteres ist einfach die
> > nächst höhere Ordnung, also hier die Ordnung 2:
> >
> > [mm]f(\vec x+\Delta x)=f(\vec x)+\Delta x_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\vec x)+\Delta x_2\frac{\partial}{\partial x_2}f(\vec x)\quad;\quad R_1(x)=\frac{1}{2}\left(\Delta x_1\,\frac{\partial}{\partial x_1}+\Delta x_2\,\frac{\partial}{\partial x_2}\right)^2f(\vec x+\Theta\,\Delta\vec x)\quad,\quad\Theta\in[0;1][/mm]
>
> >
> > Der Rest ist nur noch Handwerk, einfach einsetzen und
> > ausrechnen...
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Hasenfuss
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 26.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke fred!
und wie würde die aufgabe sein wenn nach taylor reihen gefragt ist?
ki
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Hallo kioto,
> danke fred!
> und wie würde die aufgabe sein wenn nach taylor reihen
> gefragt ist?
Da die Taylorreihe eine unendliche Reihe ist,
ist auch eine solche anzugeben.
> ki
Gruss
MathePower
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