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| Aufgabe | man bestimme ein d>0 mit
[mm] |sin^2 [/mm] x - [mm] x^2| [/mm] < 1/1000
für alle x aus R mit
|x|<d |
wie mache ich das?
das hängt ja mit dem taylorpolynom zusammen, aber bei dem term mit den sinus ist ja gar kein d dabei, oder soll man das für das x machen, da ja
|x|<d gilt?
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> man bestimme ein d>0 mit
> [mm]|sin^2[/mm] x - [mm]x^2|[/mm] < 1/1000
> für alle x aus R mit
> |x|<d
> wie mache ich das?
> das hängt ja mit dem taylorpolynom zusammen, aber bei dem
> term mit den sinus ist ja gar kein d dabei, oder soll man
> das für das x machen, da ja
> |x|<d gilt?
>
hallo tapspfote,
ist verlangt, dies mit einer Taylor-Abschätzung zu machen ?
Andernfalls könnte ich es mir so vorstellen:
Da sowohl x als auch sin(x) ungerade Funktionen sind,
ist die Situation um den Nullpunkt absolut symmetrisch.
Man kann sich also auf positive kleine x beschränken.
Für diese ist stets [mm] sin(x)\le [/mm] x, also auch [mm] sin^2(x)\le x^2
[/mm]
und damit
[mm]|sin^2(x) - x^2| = x^2-sin^2(x)[/mm]
Für alle positiven x ist diese Differenz monoton zunehmend.
Es gibt also genau ein grösstmögliches d mit der gewünschten
Eigenschaft, nämlich die positive Zahl [mm] d_{max} [/mm] mit [mm] d_{max}^2-sin^2(d_{max})=0.001
[/mm]
Mit einem solve-Programm oder z.B. mit dem Newton-Verfahren
kann man dieses [mm] d_{max} [/mm] finden: [mm] d_{max}= [/mm] 0.23446...
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mo 09.06.2008 | | Autor: | tapspfote |
ob das mit taylorabschätzung gemacht werden soll steht nicht extra dabei, aber ich denke schon, da die aufgabe zu taylorpolynom... gehört!
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> ob das mit taylorabschätzung gemacht werden soll steht
> nicht extra dabei, aber ich denke schon, da die aufgabe zu
> taylorpolynom... gehört!
na gut, in diesem Fall brauchst du zuerst einmal
die Taylorreihe von [mm] sin^2(x), [/mm] subtrahierst davon [mm] x^2 [/mm]
und schaust was übrigbleibt.
Der Betrag dieses Restes soll dann kleiner als [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
werden.
Da in der Aufgabe nicht das grösstmögliche d (wie vorher
besprochen) gesucht ist, kannst du im Folgenden ein
bisschen grosszügig sein beim Umformen der entstandenen
Ungleichung...
Gruß al-Chwarizmi
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