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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 18.12.2007 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | | [mm] F(\tau)=\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)} [/mm] |
hallo,
ich will die funktion [mm] F(\tau) [/mm] für [mm] \tau \gg [/mm] 1 untersuchen. ich hab mir überlegt, dass man dafür für die exponential-funktion eine taylor-entwicklung macht (und die terme ab 2.ordnung vernachlässigt), so dass man
[mm] F(\tau)=\sqrt{\tau}\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{f(q)}\right)}
[/mm]
erhält, da [mm] \left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)\approx\frac{2\tau}{f(q)} [/mm] ist.
ist meine überlegung bzw. meine rechnung richtig so??
danke!
gruss toros
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 18.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> [mm]F(\tau)=\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)}[/mm]
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> hallo,
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> ich will die funktion [mm]F(\tau)[/mm] für [mm]\tau \gg[/mm] 1 untersuchen.
> ich hab mir überlegt, dass man dafür für die
> exponential-funktion eine taylor-entwicklung macht (und die
> terme ab 2.ordnung vernachlässigt), so dass man
>
> [mm]F(\tau)=\sqrt{\tau}\sqrt{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dq}{f(q)}\sin^2(q/2)\left( \frac{2}{f(q)}\right)}[/mm]
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> erhält, da [mm]\left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right)\approx\frac{2\tau}{f(q)}[/mm]
> ist.
>
> ist meine überlegung bzw. meine rechnung richtig so??
Ja, das sieht gut aus. Es hängt von der Funktion f(q) ab, ob du das machen darfst. Letzten Endes ersetzt du die Klammer
[mm] \left( \frac{2}{e^{f(q)/\tau}-1}+1\right) [/mm]
durch ihre Reihenentwicklung (das geht bei der Exponentialreihe immer) und vertauschst dann Integration und Reihenentwicklung. Letzteres ist nicht immer möglich: es kann zum Beispiel sein, dass die Integrale über die einzelnen Reihenglieder divergieren: Hier enthalten die restlichen Glieder der Reihe immer höhere Potenzen von [mm] \bruch{f(q)}{\tau} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 18.12.2007 | | Autor: | toros |
hi rainer,
die funktion lautet [mm] f(q)=\sqrt{48\sum_{j=1}^{5}\frac{\sin^2(qj/2)}{j^5}}.
[/mm]
gruss toros
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 18.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Diese Funktion scheint mir stetig und beschränkt zu sein, das sollte keine Probleme bereiten.
Die Nullstelle bei q=0 ist auch kein Problem, wegen des Sinusterms im Integral.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Di 18.12.2007 | | Autor: | toros |
hi,
hab die funktion numerisch ausgerechnet (mathematica). da kommt leider was komplexes raus. der wert der funktion ist [mm] F(\tau\gg 1)\approx(0.0973594-0.0973594i)\sqrt{\tau}. [/mm] es sollte aber was reelles rauskommen...
gruss toros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Di 18.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hab die funktion numerisch ausgerechnet (mathematica). da
> kommt leider was komplexes raus. der wert der funktion ist
> [mm]F(\tau\gg 1)\approx(0.0973594-0.0973594i)\sqrt{\tau}.[/mm] es
> sollte aber was reelles rauskommen...
Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.
Also ich bekomme per Rombergintegration mit Maxima für die Wurzel den Wert 0,2782 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 19.12.2007 | | Autor: | toros |
hi,
> Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.
das ist doch auch der fall bei z.b. [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) dx} [/mm] und trotzdem kommt was reelles heraus, oder versteh ich dich falsch?
> Also ich bekomme per Rombergintegration mit Maxima für die
> Wurzel den Wert 0,2782 heraus.
ich hab's mit romberg versucht und komm auch drauf. warum jetzt hier was reelles rauskommt, wenn man es näherungsweise berechnet, versteh ich allerdings nicht...
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mi 19.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hi,
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>
> > Ja, denn der Integrand ist positiv und beschränkt.
>
> das ist doch auch der fall bei z.b.
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) dx}[/mm] und trotzdem kommt was
> reelles heraus, oder versteh ich dich falsch?
Ich meine, dass etwas positiv Reelles rauskommen muss, und Mathematica was Falsches produziert. Ich tippe ja drauf, dass es von der hebbaren Singularität bei q=0 verwirrt wird. Ich musste bei Romberg auch mit sehr kleiner positiver unterer Grenze rechnen.
Viele Grüße
Rainer
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