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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Fr 15.02.2008 | | Autor: | toros |
hallo,
die zweite ableitung nach den komponenten des potential [mm] \phi\left(\vec{r}\right) [/mm] lautet [mm] \phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right)=\frac{\partial \phi(\vec{r})}{\partial r_{\mu}\partial r_{\nu}} [/mm] mit [mm] \vec{r}=\vec{R}_i [/mm] - [mm] \vec{R}_j. [/mm] nun will ich das potential [mm] \phi\left(\vec{R}_i - \vec{R}_j+\vec{u}(\vec{R}_i) - \vec{u}(\vec{R}_j)\right) [/mm] in eine taylorreihe entwickeln. die 2. ordnung der taylorreihe lautet [mm] \hat V_{2.ordnung}=\frac{1}{4}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[\vec{u}(\vec{R}_i)-\vec{u}(\vec{R}_j)\right]^2\phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right). [/mm] nun soll [mm] \left[\vec{u}(\vec{R}_i)-\vec{u}(\vec{R}_j)\right]^2=\left[u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\cdot\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right] [/mm] sein! warum ist das aber so? warum ist z.b. [mm] \left[\vec{u}(\vec{R}_i)-\vec{u}(\vec{R}_j)\right]^2=\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\cdot\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right] [/mm] nicht richtig?
kann mir da einer bitte helfen?
danke!
gruss toros
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Hallo!
So ganz einverstanden bin ich mit deiner Rechnung nicht:
[mm] \vec{u}(\vec{ R}_i)-\vec{u}(\vec {R}_j) [/mm] ist im Indexkalkül:
[mm] \vec{u}(\vec{ R}_i)-\vec{u}(\vec {R}_j)=\sum_\mu [{u}_\mu(\vec{ R}_i)-{u}_\mu(\vec {R}_j)]*\vec{e}_\mu
[/mm]
Jetzt sollst du aber
[mm] [\vec{u}(\vec{ R}_i)-\vec{u}(\vec {R}_j)]*[\vec{u}(\vec{ R}_i)-\vec{u}(\vec {R}_j)]
[/mm]
berechnen. für den rechten Term brauchst du nen neuen Index [mm] \nu:
[/mm]
[mm] \left(\sum_\mu [{u}_\mu(\vec{ R}_i)-{u}_\mu(\vec {R}_j)]*\vec{e}_\mu\right)*\left(\sum_\nu [{u}_\nu(\vec{ R}_i)-{u}_\nu(\vec {R}_j)]*\vec{e}_\nu\right)=
[/mm]
[mm] \sum_{\mu,\nu}\left( [{u}_\mu(\vec{ R}_i)-{u}_\mu(\vec {R}_j)]*\vec{e}_\mu\right)*\left( [{u}_\nu(\vec{ R}_i)-{u}_\nu(\vec {R}_j)]*\vec{e}_\nu\right)
[/mm]
So, daß man die Summenzeichen gerne weg läßt, solltest du ja wissen, bauchschmerzen bereiten mir nur die Basisvektoren, denn [mm] \vec{e_\mu}*\vec{e_\nu}=\delta_{\mu , \nu}. [/mm] Das mußt du noch mit da rein bringen, du willst ja die einzelnen Komponenten multiplizieren und zusammenaddieren, so wie es bei dir steht, werden alle Komponenten mit allen anderen multipliziert, und dann addiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Fr 15.02.2008 | | Autor: | toros |
hi,
die gleichung steht so im buch 'ashcroft/mermin-solid state physics' gl. (22.9) ohne die deltafunktion...
gruss toros
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Hmmm, das ist merkwürdig. Auf jeden Fall muß da irgendwo noch was rein.
Ich meine, du stimmst mir sicher zu, daß
[mm] \red{\vektor{a_x\\a_y}}*\green{\vektor{a_x\\a_y}}=\red{a_x}\green{a_x}+\red{a_y}\green{a_y}
[/mm]
Im Indexkalkül gilt nun [mm] \sum_{\red \mu ; \green \nu}\red{a_\mu}*\green{a_\nu}
[/mm]
Rechnet man die Summe aus, hat man
[mm] \red{a_x}*\green{a_x}+\red{a_x}*\green{a_y}+\red{a_y}*\green{a_x}+\red{a_y}*\green{a_y}
[/mm]
Die mittleren Terme gibts aber im kanonischen Skalarprodukt nicht. Evtl verschwinden in der Matrix [mm] \phi_{\mu\nu} [/mm] die Terme [mm] \mu\neq\nu [/mm] ? Irgendwo muß da jedenfalls was sein.
Aber deine Hauptfrage ist geklärt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 16.02.2008 | | Autor: | toros |
ja, ok. danke! du meinst, dass [mm] \sum_{\substack{i\neq j}}^{N}\left[\vec{u}(\vec{R}_i)-\vec{u}(\vec{R}_j)\right]^2=\delta_{\mu\nu}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\cdot\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right] [/mm] ist! das hab ich jetzt verstanden.
gruss toros
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Hallo!
fast!
Das [mm] \delta [/mm] gehört mit in die Summe, schließich enthält es auch Indizes.
Was deine ursprüngliche Aufgabe angeht, da muß natürlich noch das [mm] \phi [/mm] mit rein, denn das hat ja auch diese Indizes.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:52 Do 21.02.2008 | | Autor: | toros |
hi event_horizon,
hast recht. ich hab dann
[mm] \hat V_{2.ordnung}=\frac{1}{4}\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\left[\vec{u}(\vec{R}_i)-\vec{u}(\vec{R}_j)\right]^2\phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right)=\sum_{\substack{i\neq j\\\mu,\nu=x,y}}^{N}\delta_{\mu\nu}\left[u_{\mu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\mu}\left(\vec{R}_j\right)\right]\phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right)\left[u_{\nu}\left(\vec{R}_i\right)-u_{\nu}\left(\vec{R}_j\right)\right] [/mm] .
die deltafunktion [mm] \delta_{\mu\nu} [/mm] bezieht sich jetzt aber auch auf das [mm] \phi_{\mu\nu}\left(\vec{r}\right), [/mm] oder? wie kann ich das schreiben, so dass [mm] \delta_{\mu\nu} [/mm] sich nur auf [mm] u_{\mu} [/mm] und [mm] u_{\nu} [/mm] bezieht??
danke!
gruss toros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 23.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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