tanx als sinx und cosx < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ [mm] u=tan(\bruch{x}{2}) [/mm] $
Geben Sie sinx und cosx als Funktionen von u an. |
Also sorry...ich meld mich ja wirklich gerne und stelle auch gerne Fragen, aber hier weiß ich absolut nicht, was man von mir möchte und komme mir reichlich doof vor ^^
Also ich soll sinx und cosx als FUNKTIONEN VON u angeben, also heißt das für mich im Umkehrschluss, u mithilfe von sin und cos ausdrücken, oder versteht das jemand anders?
Das kann aber entweder nicht sein, weil viel zu einfach, oder ist zu kompliziert ;)
also ich kann natürlich erstmal schreiben:
$ [mm] u=\bruch{sin\bruch{x}{2}}{cos\bruch{x}{2}} [/mm] $
Soll ich u NUR in sin ausdrücken, kann ich natürlich auch noch cos durch [mm] \wurzel{1-sin^2(x)} [/mm] ausdrücken, aber..
Also ich bitte erstmal um Aufgabenerklärung
PS: Habe eben eine Erleuchtung, sie vollen wohl genau das andere von mir, ich soll die Funktion sin(x) durch u ausdrücken, richtig? ^^
Und ich gehe stark davon aus, dass sin(x)=u*cos(x) nicht reichen wird, aber wohin das ganze gehen soll ist mir nach wie vor schleierhaft
PS2: muss ja ne Bedeutung haben, dass man gerade [mm] \bruch{x}{2} [/mm] nimmt, da kann ich wohl mit Verschiebung arbeiten, ich schau noch mal drüber, ach ist ja auch quatsch, ist ja nicht x+halbe und sowieso, aber ich schau mal, obs theoreme gibt, das meinte ich ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Adamantin |
Habe soeben ein Theorem gefunden, dass da lautet:
$ [mm] tan(\bruch{x}{2})=\bruch{sin(x)}{1+cos(x)}=\bruch{1-cos(x)}{sin(x)} [/mm] $
Löse ich das nach sin x auf, kommt tatsächlich sin(x) raus, also ist es das, was man zeigen soll? Das bedeutet dann im Umkehrschluss, dass tan(x/2) tatsächlich die Sinusfunktion darstellt? Ok nicht ganz, habe eben bemerkt, dass ich dann natürlich auch tan(x/2) mit sinus multipliziere und umgekehrt, aber
also ich erhalte [mm] $sin(x)=\wurzel{1-cos^2(x)}$
[/mm]
neuer Gedanke: bezogen oben auf die erste Gleichung ist sinus also:
$ sin(x)= [mm] tan(\bruch{x}{2})*(1+cos(x))$ [/mm] oder?
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> Habe soeben ein Theorem gefunden, dass da lautet:
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> [mm]tan(\bruch{x}{2})=\bruch{sin(x)}{1+cos(x)}=\bruch{1-cos(x)}{sin(x)}[/mm]
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> Löse ich das nach sin x auf, kommt tatsächlich sin(x)
> raus, also ist es das, was man zeigen soll? Das bedeutet
> dann im Umkehrschluss, dass tan(x/2) tatsächlich die
> Sinusfunktion darstellt? Ok nicht ganz, habe eben bemerkt,
> dass ich dann natürlich auch tan(x/2) mit sinus
> multipliziere und umgekehrt, aber
>
> also ich erhalte [mm]sin(x)=\wurzel{1-cos^2(x)}[/mm]
>
> neuer Gedanke: bezogen oben auf die erste Gleichung ist
> sinus also:
>
> [mm]sin(x)= tan(\bruch{x}{2})*(1+cos(x))[/mm] oder?
In Formelsammlungen kannst du bestimmt auch die
fixfertigen Lösungen finden, aber deine Aufgabe ist
wohl, die entsprechenden Formeln aufgrund solcher
Formeln herzuleiten, die du schon - samt ihren Her-
leitungen - kennst. Die obige Formel kann dir auf dem
Weg dahin vielleicht ein Wegweiser sein, aber du darfst
sie nicht einfach benützen, ohne sie selber wirklich
verstanden zu haben und ebenfalls beweisen könntest.
Du könntest, anstatt nur mit Formeln zu arbeiten,
versuchen, eine geometrische Herleitung
zu finden (wenigstens für den Fall spitzer Winkel x),
wenn du von folgender Zeichnung ausgehst:
Gleichschenkliges Dreieck ABC (Basis AB, Winkel an
der Spitze C gleich x). Du darfst dabei etwa auch
noch annehmen, dass die Schenkel die Länge 1 haben.
Zeichne die Höhen [mm] h_c [/mm] und [mm] h_a [/mm] ein,
untersuche die Winkel an der entstandenen Figur,
drücke sin(x), cos(x) sowie u durch Streckenverhält-
nisse aus und rechne dann mit Pythagoras & Co.
LG Al-Chw.
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> Sei [mm]u=tan(\bruch{x}{2})[/mm]
>
> Geben Sie sinx und cosx als Funktionen von u an.
> Also ich soll sinx und cosx als FUNKTIONEN VON u angeben,
> also heißt das für mich im Umkehrschluss, u mithilfe von
> sin und cos ausdrücken, oder versteht das jemand anders?
> also ich kann natürlich erstmal schreiben:
>
> [mm]u=\bruch{sinx}{cosx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wo sind die Nenner geblieben ?
(da gibt es nichts zu kürzen !)
> PS: Habe eben eine Erleuchtung, sie wollen wohl genau das
> andere von mir, ich soll die Funktion sin(x) durch u
> ausdrücken, richtig?
Ja; und dasselbe für cos(x)
> PS2: muss ja ne Bedeutung haben, dass man gerade
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm] nimmt, da kann ich wohl mit Verschiebung
> arbeiten, ich schau noch mal drüber
Verschiebung ... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nimm dir zuerst mal die Doppelwinkelformeln für
Sinus und Cosinus vor:
$\ [mm] sin(2\,\alpha)\ [/mm] =\ [mm] 2*sin(\alpha)*cos(\alpha)$
[/mm]
$\ [mm] cos(2\,\alpha)\ [/mm] =\ .......$
und ersetze darin das [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \frac{x}{2}
[/mm]
Dann kannst du die [mm] sin(\frac{x}{2}) [/mm] und [mm] cos(\frac{x}{2}) [/mm] durch die
geeigneten Terme mit [mm] u=tan(\frac{x}{2}) [/mm] ersetzen.
LG Al-Chw.
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