tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
hallo!
ich soll eine tangentengleichung ermitteln für:
f(x) = 1 - x - 0,5x²
P(2|3)
Also:
y = f'(x0) (x-x0) + f(x0)
-->
3 = (-1-x0) (2-x0) + (1-x0 - 0,5x0²)
Dann rechne ich weiter
8 = -2x0 - x0²
Jetzt weiß ich nihct mehr weiter. Stimmt das soweit?
Und wie gehts weiter?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst die 2 bzw. 3 in [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] y_0 [/mm] einsetzen.
y=f'(2)(x-2)+3.
Edit: Stimmt,d er Punkt müsste P(2|-3) heißen, damit das so geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
heißt dein Punkt wirklich P(2;3)? Der Würde nämlich nicht auf dem Graphen von f liegen, so dass man dann anders rangehen müsste.
Meinst du nicht P(2;-3)?
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
Der Punkt hei0t (2|3) und liegt außerhalb des graphens, aber auf der tangente!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
da P(2;3) außerhalb liegt, ist die Steigung der Tangenten ungleich f'(2)!
Nennen wir mal den Punkt B den Berührpunkt. [mm] B(x_b;f(x_b))
[/mm]
Dann weit du, dass die Tangente durch P und durch B geht, du kannst also die Steigung der Tangente durch das Steigungsdreieck ausdrücken:
[mm] m=\frac{f(x_b)-3}{x_b-2}
[/mm]
Das sollte klar sein. Kann man allgemein so schreiben.
Jetzt gilt aber auch noch für die Steigung der Tangente:
[mm] m=f'(x_b) [/mm] (das sollte auch klar sein).
Jetzt die beiden Ausdrücke für m gleichsetzten und nach [mm] x_b [/mm] auflösen (gut, du musst vorher noch f'(x) bilden, also einmal ableiten, damit du dort [mm] x_b [/mm] einsetzten kannst).
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
Danke.
ich kann doch auch mit der tangentengleichung rechnen oder?
y = f'(x0) (x-x0) + f(x0)
Dann setze ich doch einfach ein?
3 = (-1-x0) (2-x0) + (1-x0-0,5x0²)
Nur ich weiß nicht wie ich hier weiterrechnen soll?
Oder kann man die Aufgabe so gar icht lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dann ist dein [mm] x_0 [/mm] aber dein Berührpunkt weil dort steht [mm] f'(x_0).
[/mm]
Den musst du aber erstmal wieder irgendwie herausbekommen.
Wüüstest du jetzt, dass der Berührpunkt gleich sagen wir x=1 ist, kannst du das wieder machen, aber du musst doch hier erstmal dein Berührpunkt herausbekommen, und das geht mit der zweideutigen Darstellungsweise der Tangentensteigung relativ schnell.
Hast du dann den Berührpunkt raus, kannst du wieder mit deiner oben genannten GLeichung rechnen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] 3=(-1-x_0) (2-x_0)+1-x_0-0,5x_0²
[/mm]
Mit diesem Ansatz kriegst du [mm] x_0 [/mm] raus. Du kriegst sogar 2 Werte raus, weil es 2 Tangenten an der Parabel durch den Punkt P gibt.
Und danach setzt du x0 und die Koordinaten von P in deine allgemeine Tangentengleichung ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
deine Ansatz kann ich gerade nicht auf den ersten Blick überblicken.
Wie kommt der zu stande?
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habs grad mal durchgerechnet und gesehen, dass mein Ansatz genau auf diese Gleichung führt.
Da ich aber persnlich kein Mensch bin, der sich gerne Formeln merkt, merke ich mir lieber das Prinzip mit [mm] m=f'(x_b) [/mm] etc, das kann man dann auch schon leichter nachvollziehen, woher die Gleichung kommt.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Di 26.06.2007 | | Autor: | Teufel |
Eigentlich rechne ich solche Aufgaben auch immer so:
Ich bilde die Menge aller Geraden durch den gegebenen Punkt.
P(2|3)
y=mx+n
3=2m+n
n=3-2m
[mm] \Rightarrow [/mm] y=mx+3-2m
Dann setze ich diese Gerade und die Parabel gleich, lasse bei der p-q-Formel unter der Wurzel 0 rauskommen und hab somit meine 2 Anstiege. Dann nur noch beide Geraden mit den Anstiegen und durch P bilden und das wars.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
hallo!
ja, danke!! ich wollte x0 berechnen nur ich weiß nicht wie es dann weiter geht.
multipliziere ich jetzt mal die gleichung aus?
3 = (-1-x0)(2-x0) + (1-x0-0,5xo²)
Das sind dann doch:
3 = -2 + x0 - 2x0 + x0 + 1 - x0 - 0,5x0²
4 = -x0 - 0,5x0²
Wie gehts dann weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
einmal durch -0.5 teilen, und dann die quad. Ergänzung oder die PQ Formel anwenden.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
-8 = 2x0 + x0²
Dann muss ich dich später die Wurzel aus einer minus-Zahl ziehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das liegt daran, weil du dich beim Zusammenfassen des Termes vertan haben musst:
[mm] $3=(-1-x_b)(2-x_b)+1-x_b-0.5x^2 \gdw 4=0.5x_b^2-2x_b$
[/mm]
Jetzt durch 0.5 teilen:
[mm] $\gdw 8=x_b^2-4x_b$
[/mm]
Dann quad. ergänzen oder die pq-Formel anwenden.
Es sollte herauskommen:
[mm] $x_b=2-2\sqrt{3} \vee x_b=2+2\sqrt{3}$
[/mm]
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
irgendwie klappt das bei mir nicht..
wenn ich ausmultiplizeire komme ich soweit.
-2 + x0 - 2x0 + x0 + (1-x0-0,5x0²) =3
-2 + 1 - x0 - 0,5x0² = 3
4 = -x0 - 0,5x0²
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dann machst du wohl einen Fehler beim ausmultiplizieren der beiden Klammern:
[mm] $(-1-x_b)(2-x_b)=-2+x_b-2x_b+x_b^2=x_b^2-x_b-2$
[/mm]
Jetzt noch dein [mm] $1-x_b-0.5x_b^2$ [/mm] dort hingerhängen, und du solltest du zu dem Zwischenschritt [mm] $4=0.5x_b^2-2x_b$ [/mm] kommen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
danke für eure ganze hilfe.
nur leider komme ich immer noch nicht weiter.
habe jetzt beide x0 raus.
jetzt möchte ich y berechne. dazu setze ich in f(x) =1-x-0,5x²
ein, oder?
wenn ich da jetzt 2 + 2 Wurzel(3)
einsetze komme ich für y auf -9-6Wurzel3
Stimmt das oder muss ich anders weiterrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 26.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, [mm] x_0=2+2\sqrt{3} [/mm] hört sich gut an (gibt ja auch noch die andere Lösung).
>
> jetzt möchte ich y berechne. dazu setze ich in f(x)
> =1-x-0,5x²
>
> ein, oder?
Ja.
>
> wenn ich da jetzt 2 + 2 Wurzel(3)
>
> einsetze komme ich für y auf -9-6Wurzel3
>
>
> Stimmt das oder muss ich anders weiterrechnen?
Nein, das ist genau richtig.
Jetzt aus den beiden Punkten bzw. aus dem Berührpunkt m bestimmen und die Tangentengleichung heraus bestimmen.
Bist auf dem richtigem Weg.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
ist m = -3-2Wurzel3
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 26.06.2007 | | Autor: | engel |
oder ist das falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 26.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo engel!
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das ist eine mögliche Lösung.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
