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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 So 08.05.2011 | | Autor: | racy90 |
hallo,
ich soll bei einer Aufgabe zeigen das der tanh streng monoton wachsend ist und somit umkehrbar ist
Wie mach ich das am besten?
und wieso gibt man bei dieser funktion den Wertebereich mit (-1,1) an??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 So 08.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
differenziere die Funktion tanh(x) und beweise das die Ableitung > 0 ist. Daraus folgt, das die Funktion streng monoton wachsend ist. Danach berechne die Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}tanh(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}tanh(x), [/mm] das gibt Dir dann den Wertebereich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 So 08.05.2011 | | Autor: | racy90 |
ich hab mir das so gedacht beim ableiten
[mm] tanh=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{e^x-e^^(-x)}{2}/\bruch{e^x+e^(-x)}{2} [/mm] und das abgeleitet ergibt [mm] \bruch{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}
[/mm]
aber wie gehts weiter hab gelesen die ableitung soll ja [mm] 1-tanh^2 [/mm] sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 So 08.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo racy!
Die u.g. Identität benötigst Du hier nicht. Fasse im Zähler des Bruches zusammen. Dann sollte auch klar sein, dass dieser Bruch niemals [mm] $\le [/mm] \ 0$ werden kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 08.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich aber die klammern auflöse und alles zusammenrechne komme ich auf 0??
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Moin racy,
> Wenn ich aber die klammern auflöse und alles
> zusammenrechne komme ich auf 0??
Dann hast du dich verrechnet.
Der Zähler deines Bruchs zusammengefasst:
[mm] (e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})=(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=2e^xe^{-x}-(-2e^xe^{-x})=4>0
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 08.05.2011 | | Autor: | racy90 |
ja stimmt,hab mich verrechnet
jetzt habe ich noch eine Frage
ich soll mit hilfe der Regel von der Ableitung der Umkehrfunktion die Ableitung von artanh(x) auf (-1,1) bestimmen
wie mach ich das ?
ich weiß nur das man die Umkehrfunktion ableiten muss also die Umkehrfunktion wäre ja in diesem fall tanh(x) oder,das dann ableiten und wie gehts dann weiter?
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> ja stimmt,hab mich verrechnet
>
> jetzt habe ich noch eine Frage
>
> ich soll mit hilfe der Regel von der Ableitung der
> Umkehrfunktion die Ableitung von artanh(x) auf (-1,1)
> bestimmen
>
> wie mach ich das ?
>
> ich weiß nur das man die Umkehrfunktion ableiten muss also
> die Umkehrfunktion wäre ja in diesem fall tanh(x) oder,das
> dann ableiten und wie gehts dann weiter?
Na, setze stur in die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion ein und nutze aus, was du richtigerweise weiter oben schon gesagt hast, nämlich, dass gilt:
[mm]\tanh'(x)=1-\tanh^2(x)[/mm]
Einfach einsetzen und geradeheraus vereinfachen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mo 09.05.2011 | | Autor: | racy90 |
aber ich hatte doch weiter oben dei ableitung : [mm] \bruch{4}{(e^x+e^{-x})^2} [/mm] wie komm ich dann auf [mm] 1-tanh^2(x)??
[/mm]
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Hallo nochmal,
> aber ich hatte doch weiter oben dei ableitung :
> [mm]\bruch{4}{(e^x+e^{-x})^2}[/mm] wie komm ich dann auf
> [mm]1-tanh^2(x)??[/mm]
Benutze die Darstellung ohne die Exponentialfunktion:
[mm]\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}[/mm] und wende die Quotientenregel an.
Beachte: [mm]\sinh'(x)=\cosh(x)[/mm] und [mm]\cosh'(x)=\sinh(x)[/mm]
Damit kommst du auf die Ableitung [mm]\tanh'(x)=1-\tanh^2(x)[/mm] und kannst damit wie vorgeschlagen die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen ...
Gruß
schachuzius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 09.05.2011 | | Autor: | racy90 |
so hab das jetzt mal gemacht
aber als ableitung bekomme ich [mm] \bruch{1}{(1-tanh^2(artanhx))}
[/mm]
Aber wie kann ich weiß ich dann das [mm] {1-tanh^2(artanhx))}=1-x^2??
[/mm]
und wie ist das gemeint die Ableitung der Funktion auf(-1,1) zu bestimmen?Soll ich die 2 werte für x einsetzen?
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Hallo nochmal,
> so hab das jetzt mal gemacht
>
> aber als ableitung bekomme ich
> [mm]\bruch{1}{(1-tanh^2(artanhx))}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie kann ich weiß ich dann das
> [mm]{1-tanh^2(artanhx))}=1-x^2??[/mm]
Na, [mm]\tanh[/mm] und [mm]\operatorname{artanh}[/mm] sind doch zueinander invers, also [mm]\tanh(\operatorname{artanh}(x))=x[/mm]
Also [mm]\tanh^2(\operatorname{artanh}(x))=\left[\tanh(\operatorname{artanh}(x))\right]^2=x^2[/mm]
>
> und wie ist das gemeint die Ableitung der Funktion
> auf(-1,1) zu bestimmen?Soll ich die 2 werte für x
> einsetzen?
Nein, die Funktion [mm]\tanh[/mm] hat [mm](-1,1)[/mm] als Wertebereich und besitzt eine Umkehrfunktion, nämlich [mm]\operatorname{artanh}[/mm], die dann [mm](-1,1)[/mm] als Definitionsbereich hat.
Und dort kannst du wie oben gemacht die Ableitung bestimmen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mo 09.05.2011 | | Autor: | racy90 |
das versteh ich nicht ganz ,die allgemeine ableitung hab ich gebildet und was soll ich jetzt mit dem defbereich (-1,1) machen? wenn ich -1 und 1 nicht für x einsetzen soll?
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Hallo nochmal,
> das versteh ich nicht ganz ,die allgemeine ableitung hab
> ich gebildet
Ja, aber die konntest du nur berechnen für [mm]x\in (-1,1)[/mm]
Außerhalb dieses Intervalls, also für [mm]x\ge 1[/mm] und [mm]x\le -1[/mm] ist die Funktion [mm]\operatorname{artanh}[/mm] doch gar nicht definiert! Da gibt's auch keine Ableitung ...
> und was soll ich jetzt mit dem defbereich
> (-1,1) machen? wenn ich -1 und 1 nicht für x einsetzen
> soll?
Nix weiter, du bist fertig.
Es war doch von dir verlangt, die Ableitung von [mm]\operatorname{artanh}[/mm] auf [mm](-1,1)[/mm] zu bestimmen; das ist nun getan:
Für [mm]x\in (-1,1)[/mm] ist [mm]\operatorname{artanh}'(x)=...=\frac{1}{1-x^2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Mo 09.05.2011 | | Autor: | racy90 |
aso,okay,
hatte mir das schwieriger vorgestellt
danke
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