symplektische Form < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Di 01.09.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Es geht um folgende Aussage aus dem Buch "Einführung in die Mechanik und Symmetrie " von Marsden und Ratiu. Darin wird behauptet, dass die Sphäre mit der Form [mm] $$\Omega=r^2 sin(\theta)d\theta \wedge [/mm] d [mm] \eta$$ [/mm] symplektisch ist.
r bezeichnet den Radius der Sphäre |
Nun meine Frage. Um symplektisch zu sein, muss die 2-Form geschlossen sein, also [mm] $d(\Omega)=0$. [/mm] Beachtet man [mm] $d^2=0$ [/mm] bekomme ich mit der Produktregel: [mm] $$d(\Omega)=r^2dsin(\theta)\wedge d\theta \wedge d\eta,$$
[/mm]
ich sehe aber nicht, warum das 0 sein sollte.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte
MfG
Hias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:57 Fr 04.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Fr 04.09.2015 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
es gilt:
Sei [mm] \omega=a(\theta)d\theta\wedge{}d\eta, [/mm] wobei [mm] a(\theta) [/mm] beliebige Funktion. Dann gilt wegen der Antidervitationseigenschaft von dem äußeren Differential:
[mm] d\omega=d(a(\theta)d\theta)\wedge{d}\eta-a(\theta)d\theta\wedge{dd}\eta=\partial_\theta{a(\theta)}\underbrace{d\theta\wedge d\theta}_{=0}\wedge d\eta-0=0
[/mm]
Also folgt für [mm] \Omega=r^2 sin(\theta)d\theta{}\wedge{}d\eta [/mm] in der Tat [mm] d\Omega=0
[/mm]
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