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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:32 So 27.11.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Bestimme alle n [mm] \in \IN, [/mm] so dass es einen n-Zyklus in der symmetrischen Gruppe [mm] S_{4} [/mm] gibt. Gib für jedes mögliche n ein Beispiel an.
Außerdem bestimme einen Homomorphismus mit möglichst kleinem Kern von [mm] S_{4} [/mm] nach [mm] (\IZ_{2},+). (S_{4} [/mm] ist als Transpositionsprodukt darstellbar)
Also die Elemente von [mm] S_{4} [/mm] habe ich bereits bestimmt, das sind 24.
z.B.: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 } [/mm] , ...
Aber ich verstehe nicht so richtig wie das mit den n-Elementen gemeint ist undfür den Homomorphismus hab ich auch keine Idee, obwohl ich weis wie das mit den Transpositionen gemeint ist:
z.B.: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 } [/mm] = (1 4) [mm] \circ [/mm] (2 3)
...
Vielleicht kann mir das jemand erklären???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 28.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Tag Bobby!
> Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
>
> Bestimme alle n [mm]\in \IN,[/mm] so dass es einen n-Zyklus in der
> symmetrischen Gruppe [mm]S_{4}[/mm] gibt. Gib für jedes mögliche n
> ein Beispiel an.
> Außerdem bestimme einen Homomorphismus mit möglichst
> kleinem Kern von [mm]S_{4}[/mm] nach [mm](\IZ_{2},+). (S_{4}[/mm] ist als
> Transpositionsprodukt darstellbar)
>
> Also die Elemente von [mm]S_{4}[/mm] habe ich bereits bestimmt, das
> sind 24.
> z.B.: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 }[/mm] , [mm]\pmat{1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 }[/mm]
> , ...
> Aber ich verstehe nicht so richtig wie das mit den
> n-Elementen gemeint ist
Nach meinem Verständnis wäre z. B. ein 3-Zyklus so etwas:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }, [/mm] manchmal auch (1 2 3) geschrieben. Eine Transposition wäre dann ein 2-Zyklus, die Identität ein 1-Zyklus, und 4-Zyklen gäbe es auch. Weil ich mir nicht komplett sicher bin, lasse ich die Frage mal auf rot-grün.
> undfür den Homomorphismus hab ich
> auch keine Idee, obwohl ich weis wie das mit den
> Transpositionen gemeint ist:
> z.B.: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 }[/mm] = (1 4) [mm]\circ[/mm]
> (2 3)
> ...
Wenn der Kern möglichst klein werden soll, muß ja das Bild möglichst groß sein, d. h. der Homomorphismus sollte surjektiv sein. Der Kern ist dann eine U-Gruppe vom Index 2, so eine gibt es, und ich bitte dich, sie zu suchen und zu finden.
> Vielleicht kann mir das jemand erklären???
Wenn es als Erklärung soweit reicht, würde es mich sehr freuen!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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