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Hallo!
Ich habe eine Aufgabe zu lösen und einen Lösungsansatz, der mir allerdings ziemlich simpel vorkommt. Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das so machen kann.
Aufgabe a):
Gegeben: [mm] \phi_1, \phi_2 \in S_n
[/mm]
Behauptung: [mm] \phi_1 \phi_2 \phi_1^-1 \phi_2^-1 \in A_n
[/mm]
Ich habe mir jetzt folgendes überlegt: Die alternierende Gruppe ist ja die Menge aller geraden Permutationen innerhalb der [mm] S_n. [/mm] Damit haben alle Permuationen von [mm] A_n [/mm] das Vorzeichen sig = 1.
Damit die Hintereinanderausführung in der Behauptung stimmt, muss also gelten [mm] sig(\phi_1) sig(\phi_2) sig(\phi_1^-1) sig(\phi_2^-1) [/mm] = 1
Jetzt nehme ich eine Fallunterscheidung vor:
(i) [mm] sig(\phi_1) [/mm] = [mm] sig(\phi_2) [/mm] = 1
(ii) [mm] sig(\phi_1) [/mm] = 1 , [mm] sig(\phi_2) [/mm] = -1
(iii) [mm] sig(\phi_1) [/mm] = -1 , [mm] sig(\phi_2) [/mm] = 1
(iv) [mm] sig(\phi_1) [/mm] = [mm] sig(\phi_2) [/mm] = -1
Da allgemein gilt, dass
[mm] sig(\phi) [/mm] = [mm] sig(\phi^-1)
[/mm]
bedeutet das für Fall (i)
[mm] sig(\phi_1) [/mm] = [mm] sig(\phi_1^-1) [/mm] = [mm] sig(\phi_2) [/mm] = [mm] sig(\phi_2^-1) [/mm] = 1
damit gilt 1*1*1*1 = 1, also
[mm] \phi_1 \phi_2 \phi_1^-1 \phi_2^-1 \in A_n
[/mm]
Ebenso bin ich bei den Fällen (ii) - (iv) vorgegangen. Kann man das so machen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Aufgabe zu lösen und einen Lösungsansatz, der
> mir allerdings ziemlich simpel vorkommt. Würde mich freuen,
> wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das so machen kann.
>
> Aufgabe a):
> Gegeben: [mm]\phi_1, \phi_2 \in S_n[/mm]
> Behauptung: [mm]\phi_1 \phi_2 \phi_1^-1 \phi_2^-1 \in A_n[/mm]
>
> Ich habe mir jetzt folgendes überlegt: Die alternierende
> Gruppe ist ja die Menge aller geraden Permutationen
> innerhalb der [mm]S_n.[/mm] Damit haben alle Permuationen von [mm]A_n[/mm]
> das Vorzeichen sig = 1.
> Damit die Hintereinanderausführung in der Behauptung
> stimmt, muss also gelten [mm]sig(\phi_1) sig(\phi_2) sig(\phi_1^-1) sig(\phi_2^-1)[/mm]
> = 1
>
> Jetzt nehme ich eine Fallunterscheidung vor:
> (i) [mm]sig(\phi_1)[/mm] = [mm]sig(\phi_2)[/mm] = 1
> (ii) [mm]sig(\phi_1)[/mm] = 1 , [mm]sig(\phi_2)[/mm] = -1
> (iii) [mm]sig(\phi_1)[/mm] = -1 , [mm]sig(\phi_2)[/mm] = 1
> (iv) [mm]sig(\phi_1)[/mm] = [mm]sig(\phi_2)[/mm] = -1
>
> Da allgemein gilt, dass
> [mm]sig(\phi)[/mm] = [mm]sig(\phi^-1)[/mm]
>
> bedeutet das für Fall (i)
> [mm]sig(\phi_1)[/mm] = [mm]sig(\phi_1^-1)[/mm] = [mm]sig(\phi_2)[/mm] =
> [mm]sig(\phi_2^-1)[/mm] = 1
> damit gilt 1*1*1*1 = 1, also
> [mm]\phi_1 \phi_2 \phi_1^-1 \phi_2^-1 \in A_n[/mm]
>
> Ebenso bin ich bei den Fällen (ii) - (iv) vorgegangen. Kann
> man das so machen?
...aber so geht es auch! Ein anderer Anlauf wäre es, auszunutzen, daß
sig: [mm] S_{n} \to [/mm] {1, -1}
ein Homomorphismus ist, wenn man das schon gehabt hat.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ist dieLösung trotzdem richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Fr 14.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ist die Lösung trotzdem richtig?
Ist mein Deutsch so schlecht? Ich habe doch geschrieben, daß es so auch geht. Das bedeutet, daß man es so machen kann!
Also noch mal: Das ist eine richtige Lösung, aber sie ist für meinen Geschmack nicht echt supercool.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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