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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | janiju |
| Aufgabe | | Seien A und B zwei Ringe mit A [mm] \subset [/mm] B. Sei P [mm] \in [/mm] A[X]. Zeige, dass [mm] (\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in B^{n} [/mm] existieren, sodass P = [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (X- [mm] \alpha_{i}) [/mm] und dann für alle Q [mm] \in A[X_{1},...,X_{n}]^{\mathcal{S}_{n}}, Q(\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in [/mm] A; insbesondere gilt für alle k [mm] \in \IN, \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \in [/mm] A. |
Hallo!
Ich muss bis zum Donnerstag diese Aufgabe vorbereiten, um sie den anderen Studenten an der Tafel vorzurechnen. Leider kenne ich mich in Algebra nicht gut genug dafür aus. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Wie geht man an die Aufgabe ran? Was muss gezeigt werden? Wem eine Lösung einfällt, dem sei herzlich gedankt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
In einem französischsprachigen Forum, da die eigentliche Aufgabenstellung in französisch war.
http://www.maths-forum.com/exercice-polynomes-symetriques-d-algebre-113468.php
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien A und B zwei Ringe mit A [mm]\subset[/mm] B.
Ich hoffe, dass $A$ ein Unterring von $B$ ist. Einfach Teilmenge reicht nicht, ansonsten macht die Aufgabe so herzlich wenig Sinn.
> Sei P [mm]\in[/mm] A[X].
> Zeige, dass [mm](\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in B^{n}[/mm]
> existieren,
Fehlt da ein "falls" oder sowas? Ansonsten ist die Aufgabenstellung falsch, da es solche [mm] $\alpha_i$ [/mm] nicht geben muss.
> sodass P = [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] (X- [mm]\alpha_{i})[/mm]
> und dann für alle Q [mm]\in A[X_{1},...,X_{n}]^{\mathcal{S}_{n}}, Q(\alpha_{1},...,\alpha_{n}) \in[/mm]
> A; insbesondere gilt für alle k [mm]\in \IN, \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \in[/mm]
> A.
>
> Ich muss bis zum Donnerstag diese Aufgabe vorbereiten, um
> sie den anderen Studenten an der Tafel vorzurechnen. Leider
> kenne ich mich in Algebra nicht gut genug dafür aus. Ich
> würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Wie
> geht man an die Aufgabe ran? Was muss gezeigt werden? Wem
> eine Lösung einfällt, dem sei herzlich gedankt.
Hattet ihr den Hauptsatz ueber elementarsymmetrische Polynome? Also dass [mm] $A[X_1, \dots, X_n]^{\mathcal{S}_n} [/mm] = [mm] A[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$ [/mm] ist, wobei die [mm] $\sigma_i$ [/mm] die elementarsymmetrischen Polynome sind?
Wenn ja: zeige die Behauptung fuer die elementarsymmetrischen Polynome.
Und: der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerte Satz von Vieta hilft dir weiter.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 23.11.2010 | | Autor: | janiju |
Danke für deine Antwort. Aber mir ist leider immer noch nicht klar, was ich zeigen soll. Reicht es aus, den letzten Teil, also zu zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} [/mm] in A liegt? Wie kann ich da rangehen? Ich könnte ja vielleicht die Summe durch elementarsymmetrische Polynome darstellen und von denen weiß ich ja, dass sie in A liegen. Oder?
Bitte unbedingt um Antwort, da ich immer noch nicht weiß, was ich an der Tafel zeigen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 23.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deine Antwort. Aber mir ist leider immer noch
> nicht klar, was ich zeigen soll. Reicht es aus, den letzten
> Teil, also zu zeigen, dass [mm]\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k}[/mm]
> in A liegt?
Zeige einfach, dass das Polynom [mm] $\sum_{i=1}^n X_i^k$ [/mm] symmetrisch ist. Es folgt dann [mm] $\sum_{i=1}^n \alpha_i^k \in [/mm] A$ aus dem, was du in der Aufgabe zeigen sollst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Di 23.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
anstelle einfach allgemein weiterzufragen, ohne irgendetwas genaueres zu verraten, beantworte doch bitte erstmal meine Frage an dich:
> Hattet ihr den Hauptsatz ueber elementarsymmetrische
> Polynome? Also dass [mm]A[X_1, \dots, X_n]^{\mathcal{S}_n} = A[\sigma_1, \dots, \sigma_n][/mm]
> ist, wobei die [mm]\sigma_i[/mm] die elementarsymmetrischen Polynome
> sind?
Und noch eine weitere Frage: kennst du den Wurzelsatz von Vieta? (Vielleicht unter einem anderen Namen, benutze den Link um herauszufinden was er besagt und das mit den dir bekannten Saetzen zu vergleichen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Di 23.11.2010 | | Autor: | janiju |
Ja, sorry, hab ich vergessen. Also wir hatten beides. Den Satz über die elementarsymmetrischen Polynome und auch den Satz von Vieta.
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