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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Mi 02.06.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Gegeben sie die quadratische Form
[mm] Q(\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}) [/mm] = [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}
[/mm]
a) Geben Sie eine symmetrische Matrix A [mm] \in \IR^{3} [/mm] an, so dass gilt:
[mm] Q_{A}(x) [/mm] = [mm] x^{T} [/mm] A x = Q(x) |
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Eigenwerte :
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] + 3 = 0
Pq- Formel:
[mm] 1\pm \wurzel{-2}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] 1+i\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] 1-i\wurzel{2}
[/mm]
Eigenvektor für [mm] \lambda_{1}= [/mm] 3
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda \\ \lambda\\ \mu} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 0 \\1}
[/mm]
Eigenvektor für [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 [mm] +i\wurzel{2}
[/mm]
det [mm] \pmat{ 1 -(1+i\wurzel{2}) & 2 & 0 \\ 2 & 1 -(1+i\wurzel{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 3 -(1+i\wurzel{2}) } \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\0} [/mm]
det [mm] \pmat{ i\wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & i\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 +i\wurzel{2} } \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\0} [/mm]
Gauß:
[mm] i\wurzel{2}x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] = 0
(4 [mm] +\wurzel{2}) x_{2} [/mm] = 0
(2 + [mm] i\wurzel{2})x_{3} [/mm] = 0
Ich denke das ich irgendwo ein Fehler gemacht habe?
lg
Stevie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sie die quadratische Form
>
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> [mm]Q(\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}})[/mm] =
> [mm]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}[/mm]
>
> a) Geben Sie eine symmetrische Matrix A [mm]\in \IR^{3}[/mm] an, so
> dass gilt:
>
> [mm]Q_{A}(x)[/mm] = [mm]x^{T}[/mm] A x = Q(x)
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
Wie kommst Du auf diese Matrix ? Sie leistet nicht das Gewünschte !!!
Edit: pardon, sie leistet doch das Gewünschte !
>
> Eigenwerte :
Wozu ????
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 3
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2\lambda[/mm] + 3 = 0
>
> Pq- Formel:
>
> [mm]1\pm \wurzel{-2}[/mm]
Unfug ! Eine sym. Matrix hat nur reelle Eigenwerte
FRED
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]1+i\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = [mm]1-i\wurzel{2}[/mm]
>
> Eigenvektor für [mm]\lambda_{1}=[/mm] 3
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{\lambda \\ \lambda\\ \mu}[/mm]
> = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]
>
>
> Eigenvektor für [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 [mm]+i\wurzel{2}[/mm]
>
> det [mm]\pmat{ 1 -(1+i\wurzel{2}) & 2 & 0 \\ 2 & 1 -(1+i\wurzel{2}) & 0 \\ 0 & 0 & 3 -(1+i\wurzel{2}) } \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
>
> det [mm]\pmat{ i\wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & i\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 +i\wurzel{2} } \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
>
> Gauß:
>
> [mm]i\wurzel{2}x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] = 0
> (4 [mm]+\wurzel{2}) x_{2}[/mm] = 0
> (2 + [mm]i\wurzel{2})x_{3}[/mm] = 0
>
> Ich denke das ich irgendwo ein Fehler gemacht habe?
>
> lg
>
> Stevie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 02.06.2010 | | Autor: | StevieG |
$ [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2} [/mm] $
In der Vorlesung wurde gezeigt das:
Q [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] +6xy - [mm] 2y^{2}-2yz+z^{2}
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
Die Vorfaktoren von den reinen x, y, z Teilen kommen in die Hauptdiagonale.
das 6 xy Wird in der Matrix zu 3 und 3 und die (-2)yz werden in der Matrix zu -1 und -1
$ [mm] x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2} [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
Die Hauptdiagonale setzt sich zusammen aus 1 , 1 ,3 weil [mm] 1*x_{1}, [/mm] ...
und dann noch [mm] 4x_{1}x_{2} [/mm] $ das wird aufgeteilt ín 2 und 2.
Die anderen Habe ich alle Null gesetzt weil es dafür keine kombinationen gibt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo StevieG,
also deine Matrix tut's doch, wenn man $(x_1 \ x_2 \ x_3)\cdot}\pmat{1&2&0\\2&1&0\\0&0&3}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ mal ausrechnet, kommt genau $Q(x)$ heraus.
Damit ist aber die Aufgabenstellung, so wie sie oben steht, schon erfüllt.
Wie dem auch sei, du hast dich beim char.Polynom wohl leicht verrechnet.
Ich erhalte $(3-\lambda)\cdot{}(\lambda^2-2\lambda\red{-}3)$
Damit ergibt sich $\lambda=3$ als doppelten Eigenwert (den zugeh. Eigenaraum der Dimension 2 hast du ja oben bestimmt) und der einfache Eigenwert $\lambda=-1$
...
Gurß
schachuzipus
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