symmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 31.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Eine Matrix [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] heisst symmetrisch, wenn [mm] A^T = A [/mm] gilt.
Seien A, B [mm] \in M_{nn}(K) [/mm] symmetrische Matrizen. Beweisen Sie:
AB genau dann symmetrisch, wenn AB=BA gilt. |
Hallo,
hier mein Ansatz:
Seien [mm] a_{ij} [/mm] und [mm] b_{ij} [/mm] die Elemente von A und B und C=AB=BA.
Dann ist [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] a_{ji} [/mm] und [mm] b_{ij}=b_{ji}.
[/mm]
Da AB=BA gilt, ist [mm] a_{ij}b_{ij} [/mm] = [mm] b_{ij}a_{ij} [/mm] = [mm] c_{ij}.
[/mm]
In [mm] C^T [/mm] ist das Element dann [mm] c_{ji}.
[/mm]
Weiter komme ich nicht.
Kann ich jetzt einfach sagen: [mm] c_{ji}=a_{ji}b_{ji} [/mm] ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mi 31.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> Sei K ein Körper. Eine Matrix [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm] heisst
> symmetrisch, wenn [mm]A^T = A[/mm] gilt.
> Seien A, B [mm]\in M_{nn}(K)[/mm] symmetrische Matrizen. Beweisen
> Sie:
> AB genau dann symmetrisch, wenn AB=BA gilt.
> hier mein Ansatz:
> Seien [mm]a_{ij}[/mm] und [mm]b_{ij}[/mm] die Elemente von A und B und
> C=AB=BA.
> Dann ist [mm]a_{ij}[/mm] = [mm]a_{ji}[/mm] und [mm]b_{ij}=b_{ji}.[/mm]
> Da AB=BA gilt, ist [mm]a_{ij}b_{ij}[/mm] = [mm]b_{ij}a_{ij}[/mm] = [mm]c_{ij}.[/mm]
Wie kommst du auf diese letzte Zeile? [mm] c_{ij} [/mm] sieht ganz anders aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 31.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
Mahlzeit und Danke !
> > Sei K ein Körper. Eine Matrix [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm] heisst
> > symmetrisch, wenn [mm]A^T = A[/mm] gilt.
> > Seien A, B [mm]\in M_{nn}(K)[/mm] symmetrische Matrizen.
> Beweisen
> > Sie:
> > AB genau dann symmetrisch, wenn AB=BA gilt.
>
> > hier mein Ansatz:
> > Seien [mm]a_{ij}[/mm] und [mm]b_{ij}[/mm] die Elemente von A und B und
> > C=AB=BA.
> > Dann ist [mm]a_{ij}[/mm] = [mm]a_{ji}[/mm] und [mm]b_{ij}=b_{ji}.[/mm]
> > Da AB=BA gilt, ist [mm]a_{ij}b_{ij}[/mm] = [mm]b_{ij}a_{ij}[/mm] =
> [mm]c_{ij}.[/mm]
>
> Wie kommst du auf diese letzte Zeile? [mm]c_{ij}[/mm] sieht ganz
> anders aus.
Jetzt bin ich verwirrt. AB ist doch = BA, und ich wollte ein Element herauspicken - von der Position ij - und c nennen.
Muss ich das nur anders formulieren ?
Gruss aus Köln, Susanne.
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> > > Da AB=BA gilt, ist [mm]a_{ij}b_{ij}[/mm] = [mm]b_{ij}a_{ij}[/mm] =
> > [mm]c_{ij}.[/mm]
> >
> > Wie kommst du auf diese letzte Zeile? [mm]c_{ij}[/mm] sieht ganz
> > anders aus.
>
> Jetzt bin ich verwirrt. AB ist doch = BA, und ich wollte
> ein Element herauspicken - von der Position ij - und c
> nennen.
> Muss ich das nur anders formulieren ?
Hallo,
nein, hier geht's nicht um Formulierung, sondern um Fakten.
Du hast gerade behauptet [mm] ("a_{ij}b_{ij}=c_{ij}"), [/mm] daß ich [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 } [/mm] so berechnen muß - ich trau mich fast nicht, das hinzuschreiben:
[mm] \pmat{ 1*5 & 2*6 \\ 3*7 & 4*8 }. [/mm] Das ist Quatsch. FALSCH.
Ich behaupte und hoffe und glaube nicht, daß Du denkst, daß man Matrizen wirklich so multipliziert, aber das hast Du geschrieben.
Wie aber multipliziert man Matrizen? "Zeile*Spalte" sagt man ja immer.
Was verbirgt sich dahinter? Man erhält das Element, welches in der Produktmatrix AB in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht, indem man die i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von multipliziert, jeweils das k-te (k=1,...,n) Element der Zeile mit dem k-ten Element der Spalte, und dann wird alles summiert.
Und dieser Prozeß, das Element [mm] c_i_j [/mm] in C:=AB, sieht dann so aus:
[mm] c_i_j=\summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j. [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 31.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Aufschlüsselung !
Ich habe jetzt verstanden, warum mein c falsch war - danke !
(unabhängig davon weiss ich aber schon, wie man Matrizen multipliziert, auch wenn ich manchmal nicht so wirke  )
Ok, nun zurück zu meinem Beweis:
> Und dieser Prozeß, das Element [mm]c_i_j[/mm] in C:=AB, sieht dann
> so aus:
>
> [mm]c_i_j=\summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j.[/mm]
Da AB=BA (das kann ich doch voraussetzen, so wie die Aufgabe formuliert ist), kann ich auch sagen [mm]c_i_j=\summe_{k=1}^{n}b_i_ka_k_j.[/mm]
Wenn ich die Matrix C transponiere zu C' erhalte ich [mm]c'_{ji} = \summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j [/mm]
Ehrlich gesagt, weiss ich nicht, wie ich hier weitermachen soll, ob dieser Ansatz für den Beweis überhaupt relevant ist (ich tue mich sehr schwer mit Beweisen - ich hoffe ich kriege das irgendwann mal besser in den Griff).
Vielleicht so:
Wenn
[mm]c_i_j=\summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j = \summe_{k=1}^{n}b_i_ka_k_j[/mm] dann ist [mm] c_i_j = c_j_i [/mm]
Geht das so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 31.10.2007 | | Autor: | CatDog |
Hallo zusammen,
ist es eigtl. für diese Aufgabe nicht zu kompliziert, mit den einzelnen Elementen herumzuhantieren ? Zu beweisen ist doch, wenn ichs richtig verstanden hab:
AB = BA [mm] \gdw (AB)^{T} [/mm] = AB
Dann wäre doch mit
AB = BA [mm] \Rightarrow (AB)^{T} [/mm] = [mm] (BA)^{T} \Rightarrow (AB)^{T} [/mm] = [mm] A^{T}B^{T} \Rightarrow (AB)^{T} [/mm] = AB , da A,B symm.
zumindest schon die eine Richtung gezeigt, und die andere funktioniert exakt gleich, oder nicht ??
Gruss CatDog
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Hallo,
der Knackpunkt ist an der Stelle [mm] (BA)^T= A^TB^T.
[/mm]
Das muß man elementweise zeigen - ich gehe nicht davon aus, daß Susanne das bereits zur Verfügung stehen hat.
Wenn sie's allerdings bereits hat, hast Du natürlich recht, dann ist die Aufgabe sehr einfach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 31.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So geht's natürlich am einfachsten, wenn man (woher auch immer) weiß, daß Kippen die Reihenfolge verdreht. Andernfalls muß man eben genau das herleiten, indem man die Elemente betrachtet.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mi 31.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Da hat sich die Lösung mit meiner Frage überschnitten...
Diese Lösung sieht so klar und schön und einfach aus !
Nachdem ich jetzt viel im Internet geforscht und in Büchern gewälzt habe, habe ich eine Erklärung gefunden, warum [mm] (AB)^T [/mm] = [mm] B^TA^T [/mm] ist.
Diese muss ich mir allerdings erst noch zu Gemüte führen, die ist ganz schön schwindlig.
VIELEN VIELEN DANK für eure Hilfe und Mühe !!!
Vielleicht "grünt" noch jemand meine Frage oben aus - dass sie nicht stehen bleibt.
LG, Susanne.
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