symmetrische Bilinearformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 04.01.2008 | | Autor: | ossi83 |
| Aufgabe | | Seien g,f: VxV [mm] \to \IK [/mm] zwei symmetrische Bilinearformen auf dem [mm] \IK-VR [/mm] V mit f(v,v)=g(v,v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V. Zeigen Sie, dass dann bereits f = g gilt. |
Hallo Liebes Forum!
Ich habe diese Aufgabe und weiß nicht so recht, was ich zeigen soll.
Wenn die beiden Abbildungen gleich sein sollen, müssen sie doch auf allen Elementen gleich sein, d.h. auf jedem Element aus VxV. Für die Tupel der Form (v,v) gilt es ja bereits.
Muss ich jetzt noch zeigen, dass es auch für Tupel der Form (v,w) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V gilt? Da die Bilinearformen symmetrisch sind würde es ja dann auch für (w,v) gelten.
Jetzt weiß ich aber nicht, wie man von f(v,v)=g(v,v) auf
f(v,w)=g(v,w) kommt.
Ein kleiner Anstoß würde schon helfen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Fr 04.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
beachte, dass $f(v + w, v + w) = g(v + w, v + w)$ und probiere beide seiten mithilfe von symmetrie und bilinearität "auseinander zuziehen". man braucht vermutlich noch [mm] $\textrm{char} \, \mathbb{K} \not= [/mm] 2$, aber dann ist man schnell am ziel.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 05.01.2008 | | Autor: | ossi83 |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich habe nur ein kleines Problem:
Ich weiß nicht genau, ob wir char in der Vorlesung hatten und wenn doch , dann weiß ich nicht mehr, was es bedeutet. Aber ich meine, dass wir es gar nicht hatten. Könntest du mir vielleicht kurz erklären was das ist ?
Danke
LG ossi83
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Sa 05.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo ossi,
in der Aufgabe ist von einem allgemeinen Körper die Rede. Mit "char K" ist die sogenannte Charakteristik dieses Körpers gemeint. Ich machs mal kurz: char K ungleich 2 bedeutet ganz schlicht, daß in diesem Körper nicht 1 + 1 = 0 gelten darf.
Und das spielt in diesem sehr einfachen Beweis, für den andreas schon den eleganten Ansatz geliefert hat, eine wichtige Rolle, muß also unbedingt vorausgesetzt werden.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Sa 05.01.2008 | | Autor: | ossi83 |
Ich glaube ich hab verstanden.
Da ich ja nach Anwenden aller Regeln an die Stelle komme
f(v,w)+f(v,w)=g(v,w)+g(v,w)
kann ich dann guten Gewissens annehmen, dass
f(v,w)+f(v,w)=2f(v,w) gilt und nicht f(v,w)+f(v,w)=0.
Dass zu zeigende ergibt sich ja dann daraus.
Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen.
LG ossi83
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