symmetrische Bilinearform < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IK [/mm] VR über den Körper [mm] \IK [/mm] mit 1 [mm] \not= [/mm] -1. Sei s: V x V [mm] \to \IK [/mm] eine symmetrische Bilinearform.
Zeigen Sie: s ist schon vollstöndig durch die Werte s(v,v) für v [mm] \in [/mm] V bestimmt. |
Hallo,
ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich die Aufgabe anfangen soll bzw. was von mir verlangt wird. :(
Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe angehen soll. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 01.05.2013 | | Autor: | hippias |
Du kannst folgendermassen vorgehen: Seien $s,s'$ zwei symmetrische Bilinearformen so, dass $s(v,v)= s'(v,v)$ fuer alle [mm] $v\in [/mm] V$ gilt. Zeigen nun, dass $s= s'$ gilt, d.h. hier fuer alle [mm] $x,y\in [/mm] V$ gilt, dass $s(x,y)= s'(x,y)$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
geht das so?
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V
s(x,y) * s(x,y)
= s(x,x) * s(y,y)
= s'(x,x) * s'(y,y)
= s'(x,y)*s'(x,y)
[mm] \Rightarrow s(x,y)^{2} [/mm] = [mm] s'(x,y)^{2} [/mm] und wenn man die wurzel zieht erhält man
s(x,y) = s'(x,y)
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> geht das so?
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> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] V
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> s(x,y) * s(x,y)
> = s(x,x) * s(y,y)
> = s'(x,x) * s'(y,y)
> = s'(x,y)*s'(x,y)
>
> [mm]\Rightarrow s(x,y)^{2}[/mm] = [mm]s'(x,y)^{2}[/mm] und wenn man die
> wurzel zieht erhält man
> s(x,y) = s'(x,y)
Hallo,
warum sollte das zweite Gleichheitszeichen gelten? Du hast $s(x,y)=s(x,x)$
benutzt.
Dies war aber nicht aber nicht vorausgesetzt.
Betrachte mal den Audruck s(x-y,x-y) für $x,y [mm] \in [/mm] V$ Wende darauf die Eigenschaft
$s(v,v)=s'(v,v)$
an und einmal die Bilinearität der Bilinearform $s$.
Viele Grüße
Blascowit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
also wenn ich von s(v-w,v-w) ausgehen habe ich danach
= s(v,v)+s(v,-w)+s(-w,v)+s(-w,-w)
= s(v,v)-s(v,w)-s(w,v)+s(w,w)
und dann? s'(v,v) für s(v,v) einsetzen?
Sorry, aber ich komm mit dem Thema überhaupt nicht klar :(
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> also wenn ich von s(v-w,v-w) ausgehen habe ich danach
> = s(v,v)+s(v,-w)+s(-w,v)+s(-w,-w)
> = s(v,v)-s(v,w)-s(w,v)+s(w,w)
>
> und dann? s'(v,v) für s(v,v) einsetzen?
>
> Sorry, aber ich komm mit dem Thema überhaupt nicht klar :(
>
Hallo,
genau setze jetzt für $s(v,v)$ mal $s'(v,v)$ und für $s(w,w)$ mal $s'(w,w)$ ein.
Wende auf $s(x-y,x-y)$ ebenfalls die Identität $s(v,v)=s'(v,v)$ an.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
dann hab ich ja
s'(v,v)-s(v,w)-s(w,v)+s'(w,w)
aber was passiert dann mit dem -s(v,w)-s(w,v) Teil?
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> dann hab ich ja
> s'(v,v)-s(v,w)-s(w,v)+s'(w,w)
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> aber was passiert dann mit dem -s(v,w)-s(w,v) Teil?
Hallo,
das ist doch gleich [mm] $-2\cdot [/mm] s(v,w)$, da $s$ eine symmetrische bilinearform ist.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Mila007 |
Ah....vielen Dank :)
ich glaub ich muss mich mit dem Thema noch sehr gründlich auseinandersetzen :)
Hast mir aber sehr weiter geholfen! Danke!
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