symmetrie der arccos-funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 12.01.2007 | | Autor: | ManuD |
Hallo!
Ich hab eine Frage. Ich muss über Arcusfunktionen Facharbeit schreiben, hab aber ein Problem mit der Symmetrie der arccos-Funktion. Ich weiß, dass folgende Beziehung gilt: arccos(-x) = pi - arccosx
Das sagt mir leider gar nichts. Ist die Funktion zu einem bestimmten Punkt symmetrisch, der für alle arccosx gilt oder kommt es darauf an, was man für x einsetzt?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Danke schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Fr 12.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da Event Horizon schneller war, hier mal das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Weißt du denn, wie die ARCCOS-Funktion aussieht?
Sicher weißt du, wie die COS-Funktion aussieht. Die Umkehrfunktion ist dann die Spiegelung an der Graden y=x.
Allerdings nimmt man nur das Stück der COS-Funktion von x=0 bis x=pi, denn sonst würde es bei der Umkehrfunktion zu einem x mehrere y-Werte geben.
Mit anderen Worten: Zeichne die COS-Funktion von x=0 bis dahin, wo sie das erste mal y=-1 erreicht. Drehe die Seite jetzt so um, als wenn du ein Buch umblätterst, und drehe sie dann noch über Kopf. Jetzt halte das Blatt gegen das Licht, und du hast die ARCCOS-Kurve.
EDIT: Oder du guckst dir nur das Bild oben an...
Ich denke, wenn du die ARCCOS-Kurve siehst, dann ist deine Frage kein Problem mehr, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 12.01.2007 | | Autor: | ManuD |
Ich kenn die Graphen der beiden Funktionen. Wenn ich mir das so anschau, dann würd ich sagen, dass die Arcuskosinusfunktion zu (pi halbe/0) bzw. (0/pi halbe) punktsymmetrisch ist. Ich bin mir nur nicht sicher.
So sieht´s zumindest beim normalen arccosx aus. Aber ich schätz, dass der Punkt, zu dem die arccos-Funktion symmetrisch ist, eben nicht immer der gleiche ist. Nur wie soll ich das dann in meiner Facharbeit schreiben? arcsinx und arctanx sind ja zum Ursprung punksymmetrisch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was bitte ist die "nicht normale" arkuscos Funktion?
Du hast recht, arccosx ist zu [mm] 0,\pi/2 [/mm] punktsymetrisch.
Nur dass das i.A. wenig nützt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 13.01.2007 | | Autor: | ManuD |
als "normale" arccos-funktion bezeichne ich y=arccosx. als nicht normal würd ich z.B. y=arccos3x bezeichnen, also wenn nicht nur x dasteht. wäre die funktion auch zu (0/pi halbe) symmetrisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 14.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ManuD!
Vorneweg: Die Funktion $y \ = \ [mm] \arccos(3x)$ [/mm] ist ebenfalls punktsymmetrisch zum Punt $S \ [mm] \left( \ 0 \ ; \ \bruch{\pi}{2} \ \right)$ [/mm] :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allgemein kannst Du die  Punktsymmetrie einer Funktion zum Punkt $P \ ( \ a \ ; \ b \ )$ über folgende Beziehung zeigen:
$f(a+x)+f(a-x) \ = \ 2*b$
Für unsere Funktion $f(x) \ = \ [mm] \arccos(x)$ [/mm] und dem Spiegelpunkt $S \ [mm] \left( \ \red{0} \ ; \ \blue{\bruch{\pi}{2}} \ \right)$ [/mm] gilt also:
[mm] $f(\red{0}+x)+f(\red{0}-x) [/mm] \ = \ f(x)+f(-x) \ = \ [mm] \arccos(x)+\arccos(-x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{\bruch{\pi}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \pi$
[/mm]
Und daraus folgt dann Deine o.g. Beziehung.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 14.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi!
vielen dank für deine hilfe. ich glaub, jetz ist mein problem gelöst.
lg manu
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Also, um nochmal auf deine Formel zurückzukommen:
Zeichne ein Rechteck um den arccos, und zwar so, daß die Enden der Funktion in den gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks liegen.
Von der x-Achse hoch zum arccos, das ist ja genau arccos(x).
Von dort weiter, zur oberen Seite des Rechtecks, das sind exakt [mm] $\pi-arccos(x)$. [/mm] Exakt diese Strecke findest du auf der anderen Seite der y-Achse wieder, nämlich für arccos(-x)
na?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Sa 13.01.2007 | | Autor: | ManuD |
danke, so hab ich das noch gar nicht gesehn.
lg manu
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