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| Aufgabe | Zeige:
Ist [mm] g\circ [/mm] f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv |
Das versteh ich nicht ganz!
Muss in dem Fall [mm] g\circ [/mm] f ist surjetiv nicht gelten, dass dann g auch surjektiv ist und nicht f?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige:
> Ist [mm]g\circ[/mm] f surjektiv und g injektiv, dann ist f
> surjektiv
>
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> Das versteh ich nicht ganz!
> Muss in dem Fall [mm]g\circ[/mm] f ist surjetiv nicht gelten, dass
> dann g auch surjektiv ist und nicht f?
Bitte sag genau, wo die Funktionen definiert sind und wohin sie gehen, anderenfalls ist es sinnlos, sich Gedanken zu machen.
Beispiel:
f: [mm] \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty), f(x)=x^2
[/mm]
[mm] g_1: [/mm] [0, [mm] \infty) \to [/mm] [0, [mm] \infty), g_1(x) =\wurzel{x}
[/mm]
Dann haben wir : [mm] $g_1 \circ [/mm] f: [mm] \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] und [mm] (g_1 \circ [/mm] f) (x)=|x|.
In diesem Fall ist [mm] g_1 \circ [/mm] f surjektiv.
Hat man aber
f: [mm] \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty), f(x)=x^2
[/mm]
[mm] g_2: [/mm] [0, [mm] \infty) \to \IR, g_2(x) =\wurzel{x}
[/mm]
Dann haben wir : [mm] $g_2 \circ [/mm] f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] (g_2 \circ [/mm] f) (x)=|x|.
In diesem Fall ist [mm] g_2 \circ [/mm] f nicht surjektiv.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 27.10.2011 | | Autor: | Mathegirl |
[mm] M_1,M_2, M_3 [/mm] seien Mengen
[mm] f:M_1\to M_2
[/mm]
[mm] g:M_2\to M_3
[/mm]
das habe ich vorgegeben. Dann folgt die Aufgabenstellung die ich gepostet habe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 27.10.2011 | | Autor: | hippias |
> Zeige:
> Ist [mm]g\circ[/mm] f surjektiv und g injektiv, dann ist f
> surjektiv
>
>
> Das versteh ich nicht ganz!
> Muss in dem Fall [mm]g\circ[/mm] f ist surjetiv nicht gelten, dass
> dann g auch surjektiv ist und nicht f?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Du hast schon recht: $g$ ist surjektiv. Doch man kann sich auch ueberlegen, dass $f$ surjektiv sein muss. Mein Tip waere, die Definition der Surjektivitaet fuer $f$ nachzupruefen, wobei man einen gewissen Umweg ueber $g$ gehen sollte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 27.10.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Ich hab mal versucht das zu zeigen, aber kriege nur den Beweis hin, dass g surjektiv ist. g soll aber injektiv sein und f surjektiv!
da habe ich keine ahnung wie das geht!
MfG Mathegirl
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> Zeige:
> Ist [mm]g\circ[/mm] f surjektiv und g injektiv, dann ist f
> surjektiv
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> Das versteh ich nicht ganz!
> Muss in dem Fall [mm]g\circ[/mm] f ist surjetiv nicht gelten, dass
> dann g auch surjektiv ist und nicht f?
Aus [mm] g\circ [/mm] f surjektiv folgt in jedem Fall, dass g surjektiv sein muss (auch wenn g nicht injektiv ist).
Ist g nun injektiv, benutzt man die Definition:
Für beliebiges [mm] y\in M_2 [/mm] gilt:
Da [mm] g\circ [/mm] f surjektiv ist gibt es zu [mm] z=g(y)\in M_3 [/mm] ein [mm] x\in M_1 [/mm] mit [mm] g\circ [/mm] f(x)=g(f(x))=z=g(y)
Da g injektiv ist, folgt daraus y=f(x),
d.h. zu gegebenem y gibt es ein x mit f(x)=y, womit f surjektiv ist.
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>
> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 27.10.2011 | | Autor: | Mathegirl |
jetzt hab ich es verstanden. ich habe mal wieder viel zu umständlich gedacht ;)
Danke!!!!
Mathegirl
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