surjektiv,injektiv,bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
a) Welche Polynome definieren surjektive Funktionen von R nach R?
b) Welche Polynome definieren bijektive Funktionen von R nach R?
c) Gibt es auch Polynome, die injektive Funktionen definieren, aber nicht surjektiv sind?
Bei der Aufg. a) würde ich sagen dass alle Polynome mit dem Grad >=2 surjektive Funktionen sind. Weil ab da ja den Elementen der Bildmenge mindestens ein Element der Urbildmenge zugeordnet wird. Und ich vermute, das kann man auch anhand der Nullstehen sehen und beweisen. Jedoch komme ich da an meine Grenzen.
Wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das Polynom [mm] x^2 [/mm] ist nicht surjektiv !
FRED
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Aber wieso denn nicht?
Das Polynom [mm] x^{2} [/mm] ist doch eine Parabel und somit ist doch z.B. x=-2 und x=2 der gleiche y Wert zugeordnet. Und somit sind diesem y Wert doch mindestens also >=1 Elemente der Bildmenge zugeordnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Jetzt sehe ich dein Problem: Du bist mit dem Begriff "surjektiv" auf Kriegsfuß !
(mit "injektiv" evtl auch).
Wann ist eine Funktion f:R -->R surjektiv ?
Wann ist eine Funktion f:R -->R injektiv ?
f ist surjektiv, wenn es zu jedem b in R ein a in R gibt mit: f(a)=b
Das trifft für die Funktion f(x)=x² nicht zu (wähle b<0)
Schau Dir auch die Def. von "Injektivität" nochmal an.
FRED
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Surjektivität heißt für mich: Wenn man für alle y mindestens ein x mit f(x)=y findet. Es können aber auch mehrere x für y gefunden werden
Injektiv: Wenn zu jeden y ein x existiert. Also genau 1 x.
Bijektiv: Wenn für alle y genau ein x mit f(x)=y existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
O.K.
Dann müßtest Du doch sehen,dass x² nicht surjektiv ist.
FRED
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[mm] f(x)=x^{2} [/mm] bildet alle x [mm] \in\IR [/mm] auf den positiven Bereich ab inklusiver der 0.
Meinetwegen y=4: Das erhält man durch x=-2 und durch x=2. Somit sind doch dem Element (y=4) der Bildmenge zwei Element der Urbildmenge zugeordnet. Und somit stimmt doch die Eigenschaft von der Surjektivität, dass es mindestens ein Element aus der Urbildmenge sein muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
und was ist mit y=-4 ?
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Das geht aber doch nur wenn ich mich im komplexen Bereich befinde. In dem Moment wo ich vonR nach R abbilde, ist das ja nicht der Fall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x)= x². Gibt es zu y =-4 ein x mit f(x)= y ? Nein, also ist die Funktion
f:R-->R nicht surjektiv !!!!!!!!
FRED
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Ok, ich glaube jetzt hat es klick gemacht. Wenn ich von R nach R abbilde muss ich auch umgedreht von jedem R zurückabbilden können. Und das geht in dem besagten Beispiel nicht. Wäer die Funktion von R nach R (positiv) abgebildet so wäre sie surjektiv? So zum Verständnis.
Aber welche Polynome sind denn dann jetzt surjektiv?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Da bin ich aber froh, dass es klick gemacht hat !!
ist zum Beispiel f ein Polynom, wobei die höchste Potenz von x ungerade ist, so ist f surjektiv, denn f geht für x gegen unendlich gegen Unendlich und für x gegen -unendlich geht f gegen -unendlich. Nun brauchst du noch den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, um zu sehen , dass f surjektiv ist.
Was kanst du über Polynome, deren höchste Potenz von x gerade ist sagen ?
Solch ein Polynom ist nicht surjektiv!!!! Warum ?
FRED
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k ungerade: Der Zwischenwertsatz würde ja aussagen, dass bei einem genügend großen Intervall ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Und somit die Funktion auch eine Nullstelle hat. Aber mir ist nicht ganz klar wie ich daraus so ohne weiteres folgern kann dass die Funktion dann auch surjektiv ist.
Ok. Wenn k gerade, dann geht das Polynom in beiden Fällen gegen unendlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
k ungerade:
nimm ein y in R. Weil f gegen unendlich geht für xgegen unendlich gibt es ein b in R mit y<f(b). Weil fgegen -unendlich geht für x gegen -unendlich , gibt es ein a in R mit a<b und f(a)< y. Der zwischenwertsatz sagt nun: es gibt ein x zwischen aun b, so dass f(x)=y ist.
FRED
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Ok verstanden.
So jetzt habe ich versucht, das ganze auf eine bijektive Funktion zu übertragen.
Wäre denn dann für k gerade eine bijektive Funktion gegeben? Eigentlich ja nicht, weil es nicht zu jedem Element der Bildmenge genau ein Element aus der Urbildmenge gibt. Oder?
Somit wäre ja nur für k=1 eine bijektive FUnktion gegeben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein!
die polynome [mm] x^3, x^5, x^7,........sind [/mm] alle bijektiv.
Für heute muß ich Schluß machen.
Grüße FRED
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