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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mi 19.12.2007 | | Autor: | jura |
warum ist beispielsweise die sinusfunktion f(x)=sinx nicht surjektiv- einem y-wert werden doch mehrere x-werte gleichzeitig zugeordnet?! oder warum ist die funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit x/f(x) [mm] \in \IR^+ [/mm] sowohl injektiv als auch surjektiv und bijektiv???
ich verstehe diese drei begriffe noch nicht so ganz, kann mir jemand eine gute erklärung liefern?
danke!
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> warum ist beispielsweise die sinusfunktion f(x)=sinx nicht
> surjektiv-
Hallo,
zu einer Funktion gehört immer die Angabe des Definitions- und des Wertebereiches.
Betrachten wir als die Sinusfunktion als Funktion v. [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Was bedeutet surjektiv?
Die formale Definition kannst Du überall nachlesen.
In nicht ganz präzisen Worten: jedes Element des Wertebereiches wird durch die Funktion "erwischt",
zu jedem Element des Wertebereiches gibt es (mindestens) eines des Definitionsbereiches, welches darauf abgebildet wird.
Und das ist bei der Sinusfunktion nicht der Fall:
es ist die 2 im Wertebereich [mm] \IR, [/mm] jedoch gibt es kein Element, welches auf die 2 abgebildet wird.
Mit einem "Trick" kann ich aber den Wertebereich so einschränken, daß meine neue, eingeschränkte, Funktion surjektiv ist:
Betrachte
[mm] g:\IR \to [/mm] [-1,1]
[mm] x\mapsto [/mm] sin(x).
Diese Funktion g ist surjektiv, denn ich habe als Wertebereich gerade das Bild der Definitionsmenge gewählt.
Injektiv bedeutet, daß auf jedes Element des Wertebereiches höchstens ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird.
Bei injektiven Funktionen haben also nicht zwei Elemente des Definitionsbereiches denselben Funktionswert.
Betrachte ich
[mm] f:\IR \to \IR
[/mm]
[mm] x\mapsto x^2,
[/mm]
so ist diese Funktion nicht injektiv, denn es ist f(2)=f(-2)=4.
Ebenso ist die Funktion nicht surjektiv, denn ich finde kein Element, welches auf -35 abgebildet wird.
Wenn man nun aber die Funktion sowohl in Def.bereich als auch im Wertebereich auf die positiven zahlen beschränkt, also
[mm] g:\IR^+ \to \IR^+
[/mm]
[mm] x\mapsto x^2
[/mm]
betrachtet, so ist diese Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv, und ich hoffe, daß Du es nach den vorangegengenen Erklärungen verstehst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Do 20.12.2007 | | Autor: | jura |
wunderbar, danke, keine weiteren fragen!
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