supremum, infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 30.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgaben zu bearbeiten:
Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum der nachfolgenden Mengen.
a) {x / x = 3 + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] }
b) {x / x = 3 + [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm] }
c) { [mm] \bruch{m}{n} [/mm] / [mm] m,n\in\IZ, [/mm] n > m [mm] \ge1 [/mm] }
Ich habe zu allen drei Aufgabenteilen Ideen, was das jeweilige Supremum und Infimum betrifft. Meine Frage hierzu: muss ich einen konkreten Beweis führen? Oder reicht es beispielsweise, dass ich aufschreibe was passiert, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse?
Danke schonmal und viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon aufschreiben warum,
also etwa inf=3 denn für alle n gilt [mm] 1:a_n\ge3 [/mm] und 2. [mm] a_n<3+\varepsilon [/mm] für n>N (angeben) und bel. [mm] \varepsilon>0
[/mm]
oder ähnlich
D.h. man muss seine Aussagen IMMER begründen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 30.10.2007 | | Autor: | Mirtschi |
Hallo!
Ich glaube, ich habe mich falsch ausgedrückt. Natürlich ist mir klar, dass ich meine Lösung begründen muss.
Meine Frage ist, ob es zum Beispiel bei Teilaufgabe a) genügt, wenn ich schreibe
supM = [mm] 3,5\in [/mm] M, n [mm] \in\IN [/mm] ,
da für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] x gegen 3 strebt. Also muss die obere Schranke, da die Elemente x für steigende n monoton kleiner werden, für das Element n = 1 gegeben sein, also 3,5.
Stimmt das soweit?
Wenn ja, würde hieraus folgen, dass das Infimum infM = 3 ist. Nun eine weitere Frage: 3 liegt nicht in der Menge. Existiert dann überhaupt ein Infimum? Ich würde sagen nein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
!.inf und sup einer Menge müssen nicht in der Menge liegen,
wenn sie in der Menge liegen ist inf=min, und sup=max,
3 ist also das inf(x) in a)
bei a) müsstest du schreiben: [mm] x_n [/mm] ist monoton fallend, deshalb ist [mm] x_1 [/mm] das größte Element und damit sup (und max.)
inf(x)=3 denn alle x>3, und es gibt keine größere untere Schranke, jedes [mm] 3+\varepsilon [/mm] wird für [mm] n>\bruch{1}{\varepsilon }unterschritten.
[/mm]
ich denk mal, so ähnlich habt ihr inf oder sup beschrieben, d.h. du musst die Definition von inf verwenden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 01.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
Hallo,
ich hab mal eine frage zu dem oben geschriebenen:
> inf(x)=3 denn alle x<3, aber es gibt keine kleinere
> Schranke, jedes [mm]3-\varepsilon[/mm] wird für [mm]n>\varepsilon[/mm]
> überschritten.
das inf ist doch definiert als größte untere schranke.
jetzt haben wir ja durch grenzwertbetrachtung herausgefunden, dass 3 die untere schranke ist. jetzt müsste ich ja eigentlich noch schauen ob es die größte untere schrenke ist. oben steht aber "es gibt keine kleinere Schranke..." das verwirrt mich jetzt ein bisschen.
ich hätte jetzt gezeigt dass 3 die größte untere schranke ist:
also zu zeigen: 3 ist größte untere schranke
annahme: es existiert eine schranke s die größer ist als die gefundene schranke 3
s=3+d für d>0
es gilt: 3+d < 3 => d< 0
da d>0 falsche aussage..also es existiert keine größere untere schranke
infM=3
stimmt das so? oder ist meine überlegung falsch?
danke für die hilfe!
grüße
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> Hallo,
> ich hab mal eine frage zu dem oben geschriebenen:
>
> > inf(x)=3 denn alle x<3, aber es gibt keine kleinere
> > Schranke, jedes [mm]3-\varepsilon[/mm] wird für [mm]n>\varepsilon[/mm]
> > überschritten.
>
> das inf ist doch definiert als größte untere schranke.
> jetzt haben wir ja durch grenzwertbetrachtung
> herausgefunden, dass 3 die untere schranke ist. jetzt
> müsste ich ja eigentlich noch schauen ob es die größte
> untere schrenke ist. oben steht aber "es gibt keine
> kleinere Schranke..." das verwirrt mich jetzt ein
> bisschen.
Hallo,
es verwirrt Dich zurecht.
Das Infimum ist die größte untere Schranke, und Du mußt zeigen, daß 3+d mit d>0 keine untere Schranke ist.
>
> ich hätte jetzt gezeigt dass 3 die größte untere schranke
> ist:
Genau das muß man machen.
> also zu zeigen: 3 ist größte untere schranke
> annahme: es existiert eine schranke s die größer ist als
> die gefundene schranke 3
> s=3+d für d>0
> es gilt: 3+d < 3 => d< 0
Hä?
Achso. Dieses Ergebnis könnte AM ENDE Deiner Beweiserei stehen, und dann hättest Du den gewünschten Widerspruch.
Daß Du den Nachweis erst noch führen mußt, ist Dir klar, ja?
> da d>0 falsche aussage..also es existiert keine größere
> untere schranke
> infM=3
>
> stimmt das so? oder ist meine überlegung falsch?
Wie gesagt, wenn Du hier nur das Prinzip vorstellen wolltest und den rechentechnischen Teil des Beweises noch führen, wäre alles in Ordnung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 01.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
danke für die antwort!!
oh, ich hätte gedacht das reicht so...
> > die gefundene schranke 3
> > s=3+d für d>0
>
> > es gilt: 3+d < 3 => d< 0
>
> Hä?
> Achso. Dieses Ergebnis könnte AM ENDE Deiner Beweiserei
> stehen, und dann hättest Du den gewünschten Widerspruch.
> Daß Du den Nachweis erst noch führen mußt, ist Dir klar,
> ja?
was müsste ich hier noch nachweisen?
> danke und liebe grüße
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> oh, ich hätte gedacht das reicht so...
> was müsste ich hier noch nachweisen?
Du hast doch jetzt ein größere untere Schranke [mm] 3+\varepsilon [/mm] in den Raum gestellt.
Nun mußt Du zeigen, daß diese von mindestens einem Element Deiner Menge unterschritten wird.
Du erreichst das, indem Du ein N mit [mm] N>\bruch{1}{\varepsilon } [/mm] wählst.
"Wählen" geht so: sei [mm] N>\bruch{1}{\varepsilon }.
[/mm]
Nun berechne [mm] 3+\bruch{1}{1+N}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 01.11.2007 | | Autor: | sonne19 |
danke für die antwort!!
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> Du hast doch jetzt ein größere untere Schranke
> [mm]3+\varepsilon[/mm] in den Raum gestellt.
>
> Nun mußt Du zeigen, daß diese von mindestens einem Element
> Deiner Menge unterschritten wird.
diesen schritt verstehe ich nicht. ich soll ja zeigen, dass es ein element in M gibt das kleiner ist als [mm]3+\varepsilon[/mm]
doch wie kommst du dann im nächsten schritt auf: [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon }[/mm]
> Du erreichst das, indem Du ein N mit
> [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon }[/mm] wählst.
>
> "Wählen" geht so: sei [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon }.[/mm]
und wie kommst du hier von [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon }.[/mm]
auf
> Nun berechne [mm]3+\bruch{1}{1+N}.[/mm]
danke und grüße
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> danke für die antwort!!
>
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> >
> > Du hast doch jetzt ein größere untere Schranke
> > [mm]3+\varepsilon[/mm] in den Raum gestellt.
> >
> > Nun mußt Du zeigen, daß diese von mindestens einem Element
> > Deiner Menge unterschritten wird.
>
> diesen schritt verstehe ich nicht. ich soll ja zeigen, dass
> es ein element in M gibt das kleiner ist als [mm]3+\varepsilon[/mm]
Genau, wenn Du das verstanden hast, hast Du das Wichtigste verstanden, der Rest ist eher technischer Natur.
Normalerweise würdest Du bzw. man jetzt dahergehen und ein wenig gezielt experimentieren, wie das n beschaffen sein muß, damit [mm] 3+\bruch{1}{1+n} [/mm] die Grenze [mm] 3+\varepsilon [/mm] unterschreitet.
Das Ergebnis dieser Überlegungen (die irgendwann nicht mehr so neu sind...) habe ich Dir mitgeteilt.
Ich habe gesagt: nimm ein N, welches größer ist als [mm] \bruch{1}{\varepsilon }.
[/mm]
Den Wert dieses N kann man natürlich nicht angeben, er hängt ja v. [mm] \varepsilon [/mm] ab, wesentlich ist, daß dieses N existiert.
Für dieses N kannst Du nun [mm] 3+\bruch{1}{1+N} [/mm] berechnen, und Du wirst sehen, daß es einen Widerspruch gibt, Du erhältst nämlich
[mm] 3+\bruch{1}{1+N}< 3+\varepsilon [/mm] also kann ja [mm] 3+\varepsilon [/mm] keine untere Schranke sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 30.10.2007 | | Autor: | rezzana |
hallo!
ich kann das supremum und infimum von a) und b) bestimmen,aber wie funktioniert das bei c) ?
gruß rezzana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo rezzena!
Betrachte mal nacheinander erst $m_$ und anschließend $n_$ als jewals Konstante. Und nun wie gewohnt die Werte ermitteln.
Gruß
Loddar
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