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sup und limsup: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 Mo 18.07.2005
Autor: holg47

Hallo!

Kann mir mal bitte jemand an einem Beispiel verdeutlichen, was der Untersschied zwischen sup und limsup ist. Ich weiß nach Definition, dass das Supremum die kleinste oberer Schranke ist und der Limes-Superior der größte aller Häufungspunkte, das hilft mir aber irgendwie nicht weiter!

Vielen Dank
        
Bezug
sup und limsup: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mo 18.07.2005
Autor: Christian

Hallo.

Nehmen wir mal folgendes einfache Beispiel:
Sei [mm] $M:=\{a_n:=\frac{1}{n} | n\in \IN\}$. [/mm]
Dann ist [mm] $\sup [/mm] M=1$ und [mm] $\lim\sup a_n=0$. [/mm]
Wird dir der Unterschied jetzt deutlich?

Gruß,
Christian
Bezug
        
Bezug
sup und limsup: Unterschied
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Mo 18.07.2005
Autor: Roadrunner

Guten Morgen Holger!


Zunächst einmal ist ein Supremum ja völlig unabhängig von irgendwelchen Konvergenzen oder Existenzen möglicher Häufungspunkte.

Wie Du ja selber erkannt hast, ist das Supremum die kleinste obere Schranke einer Folge, Funktion bzw. Menge.
Es handelt sich hier also sozusagen um ein globales Maximum dieser betrachteten Menge. Dies kann z.B. gleich das erste Folgenglied sein (siehe Christian's Beispiel) oder irgendein anderes Folgenglied [mm] $a_n$. [/mm]


Beim Limes superior handelt es sich (wie der Name bereits verrät) um einen Grenzwert, eine Grenzwertbetrachtung (im allgemeinen für $n [mm] \rightarrow \infty$). [/mm]
Dieser Limes superior existiert also nur bei der Existenz von mind. einem Häufungspunkt.


- []Wikipedia: Supremum

- []Wikipedia: Limes superior

- MBMatheBank: lim sup


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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