summe von (1+x^2^n) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 05.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Es gilt: [mm] x\neq [/mm] 1, n [mm] \in \mathbb{N} \geq [/mm] 0 [mm] \newline
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] \sum_{k=0}^{n}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x} [/mm] |
Ich komme hier nicht weiter...
Hier meine Ansätze:
Lösungsversuch durch vollst. Ind.
n=0
[mm] 1+x=\dfrac{1-x^2}{1-x}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] w.A.
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \sum_{k=0}^{n+1}=(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n+1}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x} [/mm] + [mm] 1+x^{2^{n+1}}
[/mm]
jetzt habe ich versucht daraus irgendwie
[mm] \dfrac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}
[/mm]
umzuformen...
leider ohne erfolg
hat jemand einen tipp??
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Hallo elmanuel,
> Es gilt: [mm]x\neq[/mm] 1, n [mm]\in \mathbb{N} \geq[/mm] 0 [mm]\newline[/mm]
> Beweisen Sie:
> [mm]\sum_{k=0}^{n}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}[/mm]
Hier fehlt doch was.
Poste die genaue Aufgabenstellung.
> Ich komme
> hier nicht weiter...
>
> Hier meine Ansätze:
>
> Lösungsversuch durch vollst. Ind.
>
> n=0
>
> [mm]1+x=\dfrac{1-x^2}{1-x}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
>
> n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1}=(1+x^{2^{n+1}})[/mm] + [mm]\sum_{k=0}^{n+1}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}[/mm]
> + [mm]1+x^{2^{n+1}}[/mm]
>
> jetzt habe ich versucht daraus irgendwie
> [mm]\dfrac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]
> umzuformen...
>
> leider ohne erfolg
>
> hat jemand einen tipp??
>
Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 05.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
> Hallo elmanuel,
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> > Es gilt: [mm]x\neq[/mm] 1, n [mm]\in \mathbb{N} \geq[/mm] 0 [mm]\newline[/mm]
> > Beweisen Sie:
> > [mm]\sum_{k=0}^{n}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}[/mm]
>
>
> Hier fehlt doch was.
>
> Poste die genaue Aufgabenstellung.
Das war ein guter Tipp! ich sehe gerade das ich mich da übel verschaut hab!
Es ist nicht die Summe sondern das Produkt!
Aufgabenstellung:
Beweisen Sie die folgende Identität für alle angegebenen n [mm] \in \mathbb{N}: [/mm] n [mm] \geq [/mm] 0
[mm] (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2^{n-1}})(1+x^2n)=\dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}
[/mm]
>
>
> > Ich komme
> > hier nicht weiter...
> >
> > Hier meine Ansätze:
> >
> > Lösungsversuch durch vollst. Ind.
> >
> > n=0
> >
> > [mm]1+x=\dfrac{1-x^2}{1-x}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
> >
> > n [mm]\to[/mm] n+1
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^{n+1}=(1+x^{2^{n+1}})[/mm] + [mm]\sum_{k=0}^{n+1}= \dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}[/mm]
> > + [mm]1+x^{2^{n+1}}[/mm]
> >
> > jetzt habe ich versucht daraus irgendwie
> > [mm]\dfrac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]
> > umzuformen...
> >
> > leider ohne erfolg
> >
> > hat jemand einen tipp??
> >
>
>
> Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner.
>
ok also mit der korrigierten angabe geht es jetzt eh ganz einfach auf:
[mm] \dfrac {(1-x^{2^{n+1}})(1+x^{2^{n+1}})}{1-x} [/mm]
[mm] =\dfrac {1+x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+2}}}{1-x}
[/mm]
[mm] =\dfrac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}
[/mm]
qed!
>
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Besten Dank MathePower und gute n8
:)
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Hallo elmanuel,
>
> Aufgabenstellung:
>
> Beweisen Sie die folgende Identität für alle angegebenen
> n [mm]\in \mathbb{N}:[/mm] n [mm]\geq[/mm] 0
>
> [mm](1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^{2^{n-1}})(1+x^{2^n})=\dfrac {1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}[/mm]
> > >
> > > Lösungsversuch durch vollst. Ind.
> > >
> > > n=0
> > >
> > > [mm]1+x=\dfrac{1-x^2}{1-x}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{1-x}=1+x[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
> > >
> > > n [mm]\to[/mm] n+1
> > >
[mm] \prod_{i=0}^{n+1}(1+x^{2^i})=\left(\prod_{i=0}^{n}(1+x^{2^i})\right)*(1+x^{2^{n+1}})=\ldots
[/mm]
> [mm]\dfrac {(1-x^{2^{n+1}})(1+x^{2^{n+1}})}{1-x}[/mm]
> [mm]=\dfrac {1+x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+1}}-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]
>
> [mm]=\dfrac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x}[/mm]
> qed!
Stimmt so!
LG
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