sukzessive Approximation < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Fr 20.11.2009 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Die Funktion f (x;u) sei im Streifen S = JxR, J = [0;a] stetig und genüge der Bedingung
$|f(x;u)- [mm] f(x;v)|\le\bruch{k}{x} [/mm] |u-v|$
für 0 < x [mm] \le [/mm] a; u,v [mm] \in \IR
[/mm]
mit k < 1. Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem u'=f(x;u) in J, u(0) = [mm] \eta, [/mm] genau eine Lösung
besitzt und dass sich diese durch sukzessive Approximation berechnen lässt.
Hinweis: Der Operator T, definiert durch
$(Tu)(x) [mm] :=\integral_{0}^{x}{f (t,\eta+u(t))dt }$
[/mm]
genügt im Banachraum B aller Funktionen [mm] u\inC(J) [/mm] mit endlicher Norm $ [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] := sup {|u(x)|/x [mm] |0
Die Fixpunkte von T sind, bis auf eine Konstante, die Lösungen des Anfangswertproblems. |
Hallo,
ich komme mit dem neuen Übungsblatt einfach noch nicht klar, entschuldigt das zuspammen des Forums mitFragen.
Wir haben in der Vorlesung den Satz von Picard-Lindelöf besprochen, d.h. aufgeschrieben und auch bewiesen.
Für mich sieht es so aus, als müsste ich den Satz nochmal beweisen nur mit anderen Vorgaben und das verstehe ich nicht?
Also mir ist ja klar, dass ich offensichtlich zeigen soll, dass das AWP genau eine Lösung beseitzt und dass ich die berechnen soll, aber:
sagt der Satz von Picard-Lindelöf nicht genau das?
Abgesehen davon habe ich noch nicht ganz verstanden, was Banachräume und Lipschitzbedingungen für DGLs bringen, bzw wie ich damit umgehen muss.
Bislang habe ich ja soweit noch alles verstanden, weil es immer um "normale" DGLs ging und jez reden wir auf einmal nur noch von Banachräumen?
WÄre super, wenn mir jemand das THema etwas erläutern könnte und einen Ansatz für die AUfgabe oben geben könnte.
Danke schön!!
lg cmueller
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke, ihr sollt an diesem Beispiel genau Picard-Lindelöf
nochmal ausführen. nur dass du ja jetzt genauere Informationen über f hast.
Den PL kann man nicht oft genug machen, er kommt fast in jeder Prüfung. deshalb will der prof eben, dass du ihn hier genau auf die gegebenen Bedingungen ausgerichtet widerholst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Funktion f (x;u) sei im Streifen S = JxR, J = [0;a]
> stetig und genüge der Bedingung
> [mm]|f(x;u)- f(x;v)|\le\bruch{k}{x} |u-v|[/mm]
> für 0 < x [mm]\le[/mm] a;
> u,v [mm]\in \IR[/mm]
> mit k < 1. Weisen Sie nach, dass das
> Anfangswertproblem u'=f(x;u) in J, u(0) = [mm]\eta,[/mm] genau eine
> Lösung
> besitzt und dass sich diese durch sukzessive Approximation
> berechnen lässt.
>
> Hinweis: Der Operator T, definiert durch
> [mm](Tu)(x) :=\integral_{0}^{x}{f (t,\eta+u(t))dt }[/mm]
> genügt
> im Banachraum B aller Funktionen [mm]u\inC(J)[/mm] mit endlicher
> Norm [mm]\parallel u \parallel := sup {|u(x)|/x |0
> einer Lipschitzbedingung.
> Die Fixpunkte von T sind, bis auf eine Konstante, die
> Lösungen des Anfangswertproblems.
>
> Hallo,
> ich komme mit dem neuen Übungsblatt einfach noch nicht
> klar, entschuldigt das zuspammen des Forums mitFragen.
>
> Wir haben in der Vorlesung den Satz von Picard-Lindelöf
> besprochen, d.h. aufgeschrieben und auch bewiesen.
> Für mich sieht es so aus, als müsste ich den Satz
> nochmal beweisen nur mit anderen Vorgaben und das verstehe
> ich nicht?
Vergleiche mal die Bedingungen hier mit denen aus dem Satz. Dann siehst du, dass die Voraussetzungen verschieden sind. Diese Aussage kannst du so aehnlich wie den Satz von Picard-Lindeloef beweisen, aber nicht exakt gleich.
> Also mir ist ja klar, dass ich offensichtlich zeigen soll,
> dass das AWP genau eine Lösung beseitzt und dass ich die
> berechnen soll, aber:
> sagt der Satz von Picard-Lindelöf nicht genau das?
Der Satz ist hier nicht anwendbar. Vergleiche nochmal genau die Voraussetzungen.
> Abgesehen davon habe ich noch nicht ganz verstanden, was
> Banachräume und Lipschitzbedingungen für DGLs bringen,
> bzw wie ich damit umgehen muss.
> Bislang habe ich ja soweit noch alles verstanden, weil es
> immer um "normale" DGLs ging und jez reden wir auf einmal
> nur noch von Banachräumen?
Es geht immer noch um normale Differentialgleichungen. Man kann halt Loesungen von Differentialgleichungen als Fixpunkte von Operatoren auf Banachraeumen beschreiben. Und Fixpunkte von Operatoren auf Banachraeumen kann man halt schoener Untersuchen (weil man mehr Methoden zur Verfuegung hat) als Differentialgleichungen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi
also ich hab das jetzt mal so versucht, entlang von Picard-Lindelöf(eben mit den anderen Bedingungen).
Ich komme soweit:
$||(Tu)(x)-(Tv)(x)||$
=sup [mm] {|\integral_{0}^{x}{\bruch{f(t,\lambda+u(t)}{t}}-\bruch{f(t,\lambda+v(t)}{t}dt|}
[/mm]
=sup [mm] {|\integral_{0}^{x}{\bruch{f(t,\lambda+u(t)-f(t,\lambda+v(t)}{t}}dt|}
[/mm]
= sup [mm] {\integral_{0}^{x}|{\bruch{f(t,\lambda+u(t)-f(t,\lambda+v(t)}{t}}dt|}
[/mm]
[mm] \le [/mm] L [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] |u(t)-v(t)| dt
[mm] \le [/mm] sup [mm] |u(x)-v(x)|*L*\integral_{0}^{x} [/mm] 1 dt
so weiter komm ich nicht, weil eigentlich mussich noch auf die konstante [mm] \bruch{k}{x} [/mm] kommenund dafür bräuchte ich doch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und aus meiner letzten Zeile krieg ich das doch nicht hin.
Danke für jeden Anregung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn dein L? woher fällt das denn plötzlich? Du hast einfach dem PL abgeschrieben. was war da vorausgesetzt, was hier?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo
was hier vorausgesetzt war hab ich ja oben in meiner 1. Frage geschrieben, also im Aufgabentext.
in der VL haben wir halt PL Satz aufgeschrieben mit:
$y'=f(x,y(x))$ in [mm] [\xi, \xi+a] [/mm] und [mm] $y(\xi)=\eta$
[/mm]
der Streifen S ist definiert als
$S={(x,y) [mm] \in IR^{2}, [/mm] x [mm] \in [\xi, \xi+a], [/mm] y [mm] \in \IR}
[/mm]
f [mm] \in [/mm] C(S) und genügen der Lipschitzbedingung
[mm] |f(x,y)-f(x,z)|\le [/mm] L|y-z| y,z [mm] \in [/mm] S
dazu dann die Integralgleichung
y(x)= [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t))dt}
[/mm]
dannhaben wir gesagt y=Ty
und Ty(x)= [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t))dt} [/mm] gesetzt
T ist der Operator con C(I) mit der maximumsnorm, [mm] I=[\xi, \xi+a] [/mm] Liptschitzstetig mit Lipschitzkonstante La
und da haben wir dann die schritte gemacht dieich oben abgewandelt auf meinen aufgabentext geschrieben habe, und kamen auf das was ich als letztes geschrieben hab dort taucht das L auf, ich weiß nicht genau, was L bei mir ist, ich kann ja noch nicht k/x schreiben, ich dachte daran, dass L=k seinkönnte, was mein 1/x problem aber noch cniht löst.
da könnte die Voraussetzung der Norm mit u(x)/x hilfteich sein, aber ich komme leider nicht drauf wie.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
