substitutíon & Partialbruchzer < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 27.06.2008 | | Autor: | mathe.fr |
| Aufgabe | also ich habe jetzt eine lösung erhalten. danke!
jetzt die zweite aufgabe
1/ (sin(x)*cos(x)) dx
hier soll substituiert werden d.h z= sin(x) und eine partialbruchzerlegung gemacht werden.... |
kann mir jemand die vorgehensweise schildern?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe.fr!
Hast Du denn schon genannten Tipp befolgt? Anschließend im Nenner wie folgt ersetzen:
[mm] $$\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-z^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Fr 27.06.2008 | | Autor: | mathe.fr |
warum denn [mm] cos(x)^2? [/mm] (bzw steht sowas auch in einer normalen formelsammlung)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe.fr!
Das [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] im Nenner entsteht durch die genannte Substitution.
Und den "trigonometrischen Pythagoras" mit [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ sollte man schon in jeder Formelsammlung finden bzw. gar wissen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 28.06.2008 | | Autor: | mathe.fr |
Also laut der Hilfe bin ich nun soweit:
[mm] \integral{1/( z*cos(x)) * dz/(cos(x)) dx} [/mm] = [mm] \integral{ dz/(z*cos(x)^2) dx} [/mm] = [mm] \integral{dz/[ z*(1-z^2)] dx} [/mm]
demnach würde folgen: dz= A/z + Bz+C/ [mm] (1-z^2)
[/mm]
aber wenn ich nun koeffizientenvergleich mache dann stört mich doch dieses dz! ?? oder muss ich es mit 1 gleichsetzen von der ausgangsgleichung?
MFG
|
|
|
| |
|
Hallo mathe.fr
> Also laut der Hilfe bin ich nun soweit:
> [mm]\integral{1/( z*cos(x)) * dz/(cos(x)) dx}[/mm] = [mm]\integral{ dz/(z*cos(x)^2) dx}[/mm]
> = [mm]\integral{dz/[ z*(1-z^2)] dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> demnach würde folgen: dz= A/z + Bz+C/ [mm](1-z^2)[/mm]
>
> aber wenn ich nun koeffizientenvergleich mache dann stört
> mich doch dieses dz! ?? oder muss ich es mit 1 gleichsetzen
> von der ausgangsgleichung?
Du musst nur vom Integranden, also dem Ausdruck unter dem Integral ohne das dz, also nur von dem Bruch eine PBZ machen.
Du hast richtig substituiert und bekommen [mm] $\int{\frac{1}{z\cdot{}(1-z^2)} \ dz}$
[/mm]
Da kannst du dann deinen Ansatz nehmen, der Zähler mit dem du vergleichst, ist also 1.
Ich würde aber empfehlen, den Nenner noch weiter zu zerlegen, um nicht in die Verdrückung zu kommen, eine Stammfunktion von [mm] $\frac{Bz+C}{1-z^2}$ [/mm] (mit den noch zu berechnenden Koeffizienten B, C) machen zu müssen.
Einfacher wird's nachher beim Integrieren, wenn du den Nenner mit der 3.binom. Formel noch weiter aufsplittest:
[mm] $z\cdot{}(1-z^2)=z\cdot{}(1-z)\cdot{}(1+z)$
[/mm]
Damit hast du für die PBZ den Ansatz [mm] $\frac{1}{z(1-z)(1+z)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{1-z}+\frac{C}{1+z}$
[/mm]
Das macht's leichter...
>
> MFG
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 28.06.2008 | | Autor: | mathe.fr |
ja danke.
habe jetzt:
1= [mm] z^2(-A+B-c) [/mm] + z(B+C) +A
Koeffizientenvergleich: A= 1; B+C=0; -A +B-C=0
Wieder ein Punkt an dem ich nicht weiter komme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> 1= [mm]z^2(-A+B-c)[/mm] + z(B+C) +A
> Koeffizientenvergleich: A= 1; B+C=0; -A +B-C=0
>
setze A=1 in die 3. Gleichung ein und addiere dann die 2. und die 3.
LG
Will
|
|
|
|
