stoch.Konvergenz bei Stetigkei < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] X_n [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die stochastisch gegen eine Konstante c konvergieren. Es sei g eine stetige Funktion.
Man ziege: g(X_ n) konvergiert stochastisch gegen g(c). |
Hallo
Ich habe den Beweis so begonnen :
da g stetig [mm] \exists [/mm] ein [mm] \delta>0 \forall \varepsilon>0 [/mm] , sodass stets
[mm] |X_n-c|<\delta [/mm] => [mm] |g(X_n)-g(c)|<\varepsilon [/mm] gilt.
es folgt: [mm] P(|X_n-c|<\delta) \le P(|g(X_n)-g(c)|<\varepsilon)
[/mm]
über Komplementbildung auf beiden Seiten folgt:
[mm] P(|X_n-c|\ge\delta) \ge P(|g(X_n)-g(c)|\ge\varepsilon)
[/mm]
die linke Seite konvergiert ja jetzt nach Vorraussetzung gegen 0 für [mm] n->\infty
[/mm]
für alle [mm] \delta>0. [/mm] Da man zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein solches delta findet,
folgt die Behauptung.
Ist das so richtig, oder fehlt etwas? Muss man an irgendeiner Stelle ausnutzen, dass der stoch, GW eine Konstante ist (ich sehe nicht wo)?
Könnte mich bitte jemand verbessern, wenn etwas falsch ist ?!
Gruß mOe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 09.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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