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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
ich komme bei der folgenden aufgabe einfach nicht weiter!
Zeige die stetigkeit von [mm] \wurzel[]{x^{2}+4*y^{2}}
[/mm]
mit hilfe des epsilon delta kriteriums
Ich habe jetzt wirklich schon viel probiert:
| [mm] f(x,y_{0}) [/mm] - [mm] f(x,y_{1}) [/mm] |
=
| [mm] \wurzel[]{x^{2}+4*(y_{0})^{2}} [/mm] - [mm] \wurzel[]{x^{2}+4*(y_{1})^{2}} [/mm] |
[mm] \le
[/mm]
[mm] \wurzel[]{| x^{2}+4*(y_{0})^{2} - x^{2} - 4*(y_{1})^{2} |}
[/mm]
=
[mm] \wurzel[]{ | 4*(y_{0})^{2} - 4*(y_{1})^{2} |}
[/mm]
weil [mm] x^{2} [/mm] ja eine stetige funktion ist kann man hier noch den MWS verwenden .. aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter, weil man dann ja eine fallunterscheidung machen muss:
[mm] \wurzel[]{c} [/mm] für c<1 und c [mm] \ge1
[/mm]
und im fall c [mm] \ge1 [/mm] schaut es schlecht aus
vielleicht kann mir ja einer von euch weiterhelfen
mfg Floyd
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Hallo!
Du bist ja schon fast durch! Ich nehme jetzt mal an, dass du die Stetigkeit im Punkt [mm] $y_0$ [/mm] zeigen willst mit [mm] $|y_1-y_0|<\delta$. [/mm] Also:
[mm] $\sqrt{|4y_0^2-4y_1^2|}=2\sqrt{|y_0^2-y_1^2|}\le 2\sqrt{|y_0^2-y_0y_1|+|y_0y_1-y_1^2|}\le 2\sqrt{|y_0|\delta+|y_1|\delta}\le [/mm] 2 [mm] \sqrt{|y_0|\delta+\big(|y_1-y_0|+|y_0|\big)\delta}=2\sqrt{2|y_0|\delta+\delta^2}$.
[/mm]
Jetzt muss [mm] $\delta$ [/mm] nur noch so gewählt werden, dass [mm] $2\sqrt{2|y_0|\delta+\delta^2}<\varepsilon$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Di 03.05.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
hallo danke für die schnelle antwort, aber es gibt noch eine viel einfachere lösung:
| [mm] f(x,y_{1}) [/mm] - [mm] f(x,y_{2})| [/mm] =
| [mm] \wurzel{x^{2}+4*(y_{1})^{2}} [/mm] - [mm] \wurzel{x^{2}+4*(y_{2})^{2}} [/mm] | =
[mm] 4*|(y_{1})^{2} [/mm] - [mm] (y_{2})^{2}| [/mm] / | [mm] \wurzel{x^{2}+4*(y_{1})^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{x^{2}+4*(y_{2})^{2}} [/mm] | [mm] \le
[/mm]
[mm] 4*|(y_{1})^{2} [/mm] - [mm] (y_{2})^{2}| [/mm] / (2 * [mm] (|y_{1}| [/mm] + [mm] |y_{2}|)) \le
[/mm]
[mm] 2*|y_{1}-y_{2}|
[/mm]
somit lipschitzstetig
mfg
Floyd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 03.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Floyd!
Bist du denn sicher, dass du die Stetigkeit nur in der zweiten Komponente zeigen sollst?
Dann in jedem Fall: ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") für die schöne Lösung!
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Di 03.05.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo julius!
> Bist du denn sicher, dass du die Stetigkeit nur in der
> zweiten Komponente zeigen sollst?
in x sollte das ganze doch analog funktionieren!
mfg
Floyd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Di 03.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das würde aber nicht genügen!
Selbst aus der Stetigkeit längs aller Geraden folgte nicht die Stetigkeit als solche.
Du musst an $x$ und $y$ schon gleichzeitig wackeln, um die Stetigkeit der Funktion zu zeigen!
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 03.05.2005 | | Autor: | Floyd |
ich glaube hier reicht es auch wie folgt zu argumentieren:
1) y stetig => y*y stetig => 4*y*y stetig
2) x stetig => x*x stetig
aus 1) und 2) => [mm] x^{2}+4*y^{2} [/mm] stetig
und weil [mm] x^{2}+4*y^{2} \ge [/mm] 0
=> [mm] \wurzel{x^{2}+4*y^{2}} [/mm] stetig
mfg
Floyd
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