stetige Funktion, lim < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:13 Do 06.01.2005 | | Autor: | Schobbi |
Auf meinem akutellen Übungsblatt zur Analysis I ist folgende Aufgabe aufgetaucht:
Betrachten Sie die Folge von Funktionen fn: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] fn(x):=x/(n(1+n*x^2))
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}fi(x) [/mm] eine stetige Funktion f definiert, und beweisen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}xf(x)= \limes_{n\rightarrow-\infty}xf(x)= \summe_{i=1}^{\infty}1/i^2
[/mm]
gilt.
Gruß aus Kölle!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Do 06.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Sebastian
Schau die mal die Funktion [mm]f_n(x)=\frac1n\frac{x}{1+nx^2}[/mm] genauer an.
Für x gegen plus/minus unendlich streben die Funktionswerte gegen 0, da das Nennerpolynom vom Grad 2, das Zählerpolynom vom Grad 1 überwiegt.
Bestimme dann das globale Maximum und Minimum für die Funktion [mm]f_n(x)[/mm] bestimen (mit Hilfe der Ableitung) Es ist [mm]\pm\frac1{2n^{3/2}}[/mm].
Weil die Reihe [mm]\sum_n\frac1{2n^{3/2}}[/mm] konvergiert, konvergiert die Reihe der Funktionen gleichmässig und die Grenzfunktion ist stetig (das ist ein Satz der Analysis).
Ungefähr gleich kann man für die Funktionen [mm]f_n^\ast(x)=\frac1n\frac{x^2}{1+nx^2}[/mm] zeigen, dass die Reihe gleichmässig konvergiert (Die [mm]f_n^\ast(x)[/mm] besitzen das globale Minimum 0 bei x=0 und die Funktionswerte sind kleiner als [mm]\frac1{n^2}[/mm]).
Wegen der gleichmässigen Konvergenz kann man die Summe und Limes vertauschen:
[mm]\lim_{x\to\infty}x\sum_{n}\frac1n\frac{x}{1+nx^2}= \sum_{n}\lim_{x\to\infty}\frac1n\frac{x^2}{1+nx^2}= \sum_{n}\frac1{n^2}[/mm]
mfG Moudi
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