stetige Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:15 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Beweisen sie:
[mm] $\underbrace{f: [1,3] \to [1,3]}_{\text{stetig}} \exists \xi \in [/mm] [1,3] | [mm] f(\xi) [/mm] = [mm] \xi$ [/mm] |
Soll man hier dann den Zwischenwertsatz anwenden? Irgendwie weiß ich da gar nicht so recht was ich machen soll!
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Hallo bandchef,
> Beweisen sie:
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> [mm]\underbrace{f: [1,3] \to [1,3]}_{\text{stetig}} \exists \xi \in [1,3] | f(\xi) = \xi[/mm]
Edit: Großer Quark - sorry
Das ist doch nicht die Originalaufgabe, oder?
Nimm [mm]f:[1,3]\to[1,3], f(x)\equiv 5[/mm] meinetwegen, das ist auf [mm][1,3][/mm] stetig, hat dort aber keinen Fixpunkt ...
>
> Soll man hier dann den Zwischenwertsatz anwenden? Irgendwie
> weiß ich da gar nicht so recht was ich machen soll!
Ich auch nicht, wie soll man dir bei einer solchen Aufgabenstellung helfen?!
Edit Ende
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber wenn das da so steht:
Sei $ [mm] \underbrace{f: [1,3] \to [1,3]}_{\text{stetig}}$ [/mm] eine stetige Funktion.
Zeigen Sie, dass es mindestens ein $ [mm] \xi \in [/mm] [1,3] $ gibt mit $ [mm] f(\xi) [/mm] = [mm] \xi [/mm] $
So übersetz ich das...
Kein Wort einer festen Funktion...
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Hallo nochmal,
ja sorry, hatte überlesen (oder nicht bedacht), dass ja das Zielintervall auch $[1,3]$ ist und nichts außerhalb.
Daher taugt mein Gegenbsp. nat. nicht!
Gruß
schachuzipus
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> Sorry, aber wenn das da so steht:
>
> Sei [mm]\underbrace{f: [1,3] \to [1,3]}_{\text{stetig}}[/mm] eine
> stetige Funktion.
>
> Zeigen Sie, dass es mindestens ein [mm]\xi \in [1,3][/mm] gibt mit
> [mm]f(\xi) = \xi[/mm]
Hallo,
mit dem ZWS liegst Du gar nicht so schlecht.
Hast Du Dir die Situation mal aufgemalt:
eine stetige Funktion, die aus dem Intervalll [1,3] ins Intervall [1,3] abbildet.
Die Behauptung ist, daß die Funktion die Winkelhalbierende h(x)=x an mindestens einer Stelle schneidet.
Daß es nicht anders geht, düfte anschaulich klar sein.
Zum Beweis:
betrachte mal die Funktion g mit g(x):=f(x)-x auf dem Intervall [1,3].
Überlege Dir, zwischen welchen Werten g(1) bzw. g(3) liegt und ziehe mithilfe des ZWS Deine Schlüsse daraus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Woher weißt du, dass es sich um eine Winkelhalbierende handeln muss? Liest du das daraus:
[mm] $f(\xi) [/mm] = [mm] \xi$?
[/mm]
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> Woher weißt du, dass es sich um eine Winkelhalbierende
> handeln muss? Liest du das daraus:
>
> [mm]f(\xi) = \xi[/mm]?
Hallo,
ja.
Es geht um eine Stelle , an welcher die Funktion f die Funktion h mit h(x):=x schneidet. Die Funktion h ist die Winkelhalbierende.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab noch das gefunden:
$f(a) [mm] \cdot [/mm] f(b) < 0$ dann gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(\xi) [/mm] = 0$
Hilft mir das? Mit den bisherigen Ausführungen konnte ich eigentlich nix damit anfangen.
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> Ich hab noch das gefunden:
>
> [mm]f(a) \cdot f(b) < 0[/mm] dann gibt es ein [mm]\xi \in [a,b][/mm] mit
> [mm]f(\xi) = 0[/mm]
>
> Hilft mir das?
Hallo,
da oben steht:
(wenn f stetig ist) und f(a)>0 und f(b)<0 oder umgekehrt, so gibt es zwischen a und b ein [mm] \xi, [/mm] an welchem der Funktionswert 0 angenommen wird.
> Mit den bisherigen Ausführungen konnte ich
> eigentlich nix damit anfangen.
Mit meinen??? Ich bin beleidigt...
Hast Du denn mal getan, was ich gesagt habe?
Ich sag's nochmal genauer:
zwischen welchen Werten liegt f(1), zwischen welchen f(3)?
Zwischen welchen Werten liegt g(1), zwischen welchen g(3)?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 03.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Also:
Aus Aufgabenstellung ersichtilich ist ja: $f(x) = x$ und $g(x) = f(x) - x$
$f(1) = 1$
$f(3) = 3$
$g(1) = f(1) - 1$
$g(1) = 1 - 1 = 0$
$g(3) = f(3) - 3$
$g(3) = 3 - 3 = 0$
Zitat:
zwischen welchen Werten liegt f(1), zwischen welchen f(3)?
-> zwischen 1 und 3
Zwischen welchen Werten liegt g(1), zwischen welchen g(3)?
-> zwischen 0 und 0
Sagt mir das jetzt, dass es beliebig viele [mm] $\xi \in [/mm] [1,3]$ gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 03.05.2011 | | Autor: | Damasus |
Hi,
Woher weißt du das f(1)=1 ist? Du weiß nur, dass deine Funktion im Intervall $[1,3]$ verläuft. Ich gebe dir einen Tipp.
Wir haben bereits gesagt, dass g(x)=f(x)-x sein soll.
Wie du auch berechnet hast, sind die Werte g(1) und g(3) wichtig.
Du weißt nicht, dass f(1)=1, aber du kannst auf jeden Fall sagen, dass [mm] $f(1)\ge [/mm] 1$ oder?
Also $g(1) = [mm] f(1)-1\ge [/mm] 0$ und nun machst du das mit g(3) und schaust mal was das mit dem Zwischenwertsatz zu tun hat.
Grüße
Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 11.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab nun $g(3) = f(3)-3 [mm] \geq [/mm] 0$ dastehen. Was das aber nun weiter mit dem Zwischenwertsatz zu tun haben soll verstehe ich nach wie vor nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. [mm] $[1,3]\times [/mm] [1,3]$ ist ein Quadrat, in dem irgendwie der Graph verläuft.
2. Wenn der Graph an irgendeiner Stelle die Diagonale (x,x), [mm] $x\in [/mm] [1,3]$, schneidet, dann ist da ein Fixpunkt, weil dort x und y=f(x) Wert übereinstimmen.
3. Ein Graph ohne Fixpunkt darf also an keiner Stelle die Diagonale schneiden.
4. Daraus folgt zwangsläufig, daß f(1)>1, weil f(1)<1 nicht möglich ist und f(1)=1 ein Fixpunkt wäre.
5. Außerdem folgt zwangsläufig f(3)<3 (wieso?)
6. D.h. am linken Rand ist der Graph *über* der Diagonalen, am rechten Rand *darunter.*
7. Was heißt "darüber" und "darunter" in mathematischen Begriffen für [mm] $g(x)=f(x)-x\,$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 11.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat:
5. Außerdem folgt zwangsläufig f(3)<3 (wieso?)
7. Was heißt "darüber" und "darunter" in mathematischen Begriffen für $ [mm] g(x)=f(x)-x\, [/mm] $?
zu 5.: weil der Graph dann doch aus dem Definitionsbereich laufen würde, oder?
zu 7.: weiß ich leider keine Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Blech |
> zu 7.: weiß ich leider keine Antwort!
Der Graph von a(x) liegt über b(x), also ist a(x)-b(x)>...
Kram mal ganz tief in Deinem 7. Klasse Wissen.
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> Hallo bandchef,
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> > Beweisen sie:
> >
> > [mm]\underbrace{f: [1,3] \to [1,3]}_{\text{stetig}} \exists \xi \in [1,3] | f(\xi) = \xi[/mm]
>
> Das ist doch nicht die Originalaufgabe, oder?
>
> Nimm [mm]f:[1,3]\to[1,3], f(x)\equiv 5[/mm] meinetwegen,
Hallo,
die Funktion bildet aber nicht ins Intervall [1,3] ab.
Gruß v. Angela
> das ist auf
> [mm][1,3][/mm] stetig, hat dort aber keinen Fixpunkt ...
>
> >
> > Soll man hier dann den Zwischenwertsatz anwenden? Irgendwie
> > weiß ich da gar nicht so recht was ich machen soll!
>
> Ich auch nicht, wie soll man dir bei einer solchen
> Aufgabenstellung helfen?!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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