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| Aufgabe | Es sei [mm] f:[0,1[-->\IR [/mm] definiert durch
f(x)= [mm] \begin{cases} \bruch{e^{x}-1}{x}, {x \in ]0,1[ } \\ 1, {x=0 } \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie für alle x [mm] \in [/mm] ]0,1[ [mm] 1\le [/mm] f(x) [mm] \le \bruch{1}{1-x}
[/mm]
b) Zeigen Sie, das f stetig ist. |
Hallo allerseits,
Teil a) hab ich mehr schlecht als recht irgendwie gezeigt.
Erst die Linke Ungleichung:
zz: [mm] \limes_{x \rightarrow 0}f(x) [/mm] =1
[mm] \bruch{e^{x}-1}{x} [/mm] > 1
[mm] e^{x}-1 [/mm] > x
[mm] e^{x} [/mm] > x+1 und das stimmt ja offensichtlich
für die Links Seite habe ich dir Majorate zu f(x), nämlich [mm] e^x [/mm] betrachtet.
[mm] \limes_{x \rightarrow 1} e^x [/mm] = e [mm] \approx [/mm] 2,71...
[mm] \limes_{x \rightarrow 1} \bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
also auch f(x) [mm] \le \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Denke sollte im großen und ganzen schon so passen.
Aber mit Teil 2, der stetigkeit komme ich gar nicht zurecht.
Ich würde gerne die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Variante anwerden also das Gesetz:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x' [mm] \in [/mm] D : [mm] |x-x'|>\delta \Rightarrow [/mm] |f(x) [mm] -f(x')|<\varepsilon
[/mm]
Ich denke man muss nur den Punkt bei x=0 betrachten, da [mm] e^x [/mm] sowieso immer stetig ist.
Es wäre toll wenn mit hier jemand einen Ansatz geben könnte.
Danke, viele Grüße,
Sara
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a) habe ich nicht nachgerechnet. Aber wenn du die Ungleichung in a) erst einmal hast, kannst du doch in ihr [mm]x \to 0[/mm] gehen lassen (Sandwich).
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so kann ich zeigen das die Grenzwerte gleich sind.
Reicht das schon für stetigkeit?
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Du kannst damit [mm]\lim_{x \to 0} f(x) = 1[/mm] zeigen. Und da genau so der Funktionswert festgelegt wurde: [mm]f(0) = 1[/mm], ist die Funktion bei 0 stetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 So 14.01.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße,
Sara
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