stetig in x=0 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei f: [mm] [0,1]\to\IR [/mm] beschränkt und g: [mm] [0,1]\to\IR [/mm] = xf(x). Zeigen Sie, dass g
stetig in x = 0 ist.
Also um zu zeigen, dass g steitg in x=0 muss gezeigt werden, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}g(x)=g(0)
[/mm]
Also g(0)=0f(0)=0
mir istz jetzt unklar wie mir hilft, dass f beschränkt ist
[mm] g(x\to0)=x\to0f(x\to0) [/mm] bedeutet dann das f beschränkt ist nur, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}f(x) [/mm] existiert?
wie muss ich weiter vorgehen?
mfg Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm][0,1]\to\IR[/mm] beschränkt und g: [mm][0,1]\to\IR[/mm] = xf(x).
> Zeigen Sie, dass g
> stetig in x = 0 ist.
>
> Also um zu zeigen, dass g steitg in x=0 muss gezeigt
> werden, dass
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}g(x)=g(0)[/mm]
>
> Also g(0)=0f(0)=0
>
> mir istz jetzt unklar wie mir hilft, dass f beschränkt
> ist
>
> [mm]g(x\to0)=x\to0f(x\to0)[/mm] bedeutet dann das f beschränkt ist
> nur, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}f(x)[/mm] existiert?
Nein , dieser Grenzwert muss i.a. nicht existieren !
beispiel: f(x)=sin(1/x) für x [mm] \in [/mm] [0,1) und f(0)=1
>
> wie muss ich weiter vorgehen?
f ist auf [0,1] beschränkt, also ex. ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|f(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Dann haben wir:
$|g(x)| [mm] \le [/mm] c*x$ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Das sollte helfen.
FRED
>
> mfg Andreas
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ok
kann ich jetzt sagen, für [mm] x\to0 [/mm] geht auch [mm] c*x\to0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok
>
> kann ich jetzt sagen, für [mm]x\to0[/mm] geht auch [mm]c*x\to0[/mm]
Na klar.
FRED
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sry komme hier noch nicht so recht mit der steuerung zurecht...also meine ganze antwort sollte gerade so aussehen:
kann ich jetzt sagen, für [mm] x\to0 [/mm] geht auch [mm] c*x\to0
[/mm]
und da [mm] |g(x)|\le [/mm] c*x muss auch [mm] g(x)\to0 [/mm] für [mm] x\to0
[/mm]
also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}g(x)=0=0f(0)=g(0) [/mm] ?
und somit ist dann g(x) stetig in x=0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> sry komme hier noch nicht so recht mit der steuerung
> zurecht...also meine ganze antwort sollte gerade so
> aussehen:
>
> kann ich jetzt sagen, für [mm]x\to0[/mm] geht auch [mm]c*x\to0[/mm]
>
> und da [mm]|g(x)|\le[/mm] c*x muss auch [mm]g(x)\to0[/mm] für [mm]x\to0[/mm]
>
> also [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}g(x)=0=0f(0)=g(0)[/mm] ?
>
> und somit ist dann g(x) stetig in x=0?
Ja
FRED
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