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stetig: stetige funktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman

Aufgabe
Nimm an, dass f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig ist. Beweise, dass es ein c [mm] \in [/mm] [0,1] gibt, dass f(c)=c gilt.

ich verstehe nicht genau, was mit  f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] gemeint ist?
[0,1] ist doch ein Intervall. und dieses intervall wird auf [0,1] abgebildet, aber wie sieht die funktion aus, wie kann man sich die vorstellen? (in einem koordinatensysmtem meine ich)

        
Bezug
stetig: Definitions- und Wertebereich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


Die Darstellung $f \ : \ [mm] \blue{[0;1]} [/mm] \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \red{[0;1]}$ [/mm] für stetiges $f_$ besagt, dass aus dem Definitionsbereich [mm] $\blue{[0;1]}$ [/mm] jeder Wert aus dem Wertebereich [mm] $\red{[0;1]}$ [/mm] erreicht wird. Dabei ist hier völlig belanglos wie der Kurvenverlauf dazwischen aussieht.

Das kann einfach eine Gerade sein oder auch z.B. eine sinusähnliche Funktion in diesem Intervall.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman

danke erstmal für die antwort!

also ist nur [mm] \ID [/mm] und [mm] \IW [/mm] angegeben,

in der Fragestellung steht ja, "BEWEISE , dass es EIN c [mm] \in [/mm] [0,1] gibt....
wie kann ich da was beweisen, wenn ich unendlich tausend funktionen gibt, die dieses intervall durchqueren. Da steht ja ",...dass es EIN c gibt..." kann man dann nicht sagen, f(x)=x (also die ursprungsgerade). Die Gerade erfüllt ja dann f(c)=c.
Das wäre ja dann zu simpel.... bewiesen hab ich ja nicht wirklich etwas... aber ich sollte ja zeigen, dass es EIN c gibt und ich hab eins angegeben...

Bezug
                        
Bezug
stetig: Beweisidee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mo 31.12.2007
Autor: barsch

Hi,

dann wollen wir einmal die Grundlagen für eine Beweisidee schaffen.

> Nimm an, dass f:[0,1] $ [mm] \to [/mm] $ [0,1] stetig ist. Beweise, dass es ein c $ [mm] \in [/mm] $ [0,1] gibt, dass f(c)=c gilt.

Wir definieren uns einmal eine weitere Funktion h mit der Eigenschaft

[mm] h(x_{})=f(x)-x [/mm] und [mm] h:[0,1]\to\IR. [/mm] h ist stetig, da Komposition stetiger Funktionen.

Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass [mm] f:[0,1]\to[0,1]. [/mm]

Wir können also folgern: [mm] 1)f(0)\ge{0} [/mm]
                         [mm] 2)f(1)\le{1} [/mm]

Gilt f(0)=0 so ist [mm] c=0\in[0,1] [/mm] der Fixpunkt.
Gilt f(1)=1 so ist [mm] c=1\in[0,1] [/mm] der Fixpunkt.

Ist f(0)>0 und f(1)<1, so gilt:

[mm] h(0)=f(0)-0_{}>0 [/mm]
[mm] h(1)=f(1)-1_{}<0 [/mm]

Da h stetig, [mm] \exists [/mm] ein [mm] c\in(0,1) [/mm] mit

h(c)=f(c)-c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(c)-c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(c)=c.

Insgesamt: Es [mm] \exists [/mm] ein [mm] c\in[0,1] [/mm] mit f(c)=c. q.e.d.

MfG barsch

Bezug
                                
Bezug
stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman


> Hi,
>  
> dann wollen wir einmal die Grundlagen für eine Beweisidee
> schaffen.

oh, danke!!! du hast mir ja gleich nen ganzen beweis geliefert!!! ;)
noch eine frage

>  
> Da h stetig, [mm]\exists[/mm] ein [mm]c\in(0,1)[/mm] mit
>  
> h(c)=f(c)-c=0

wieso kommt da null raus?


Bezug
                                        
Bezug
stetig: siehe Aufgabenstellung!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


Gemäß Aufgabenstellung ist doch $x \ = \ c$ genau die Stelle mit $f(c) \ = \ c$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
stetig: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


> in der Fragestellung steht ja, "BEWEISE , dass es EIN c [mm]\in[/mm]
> [0,1] gibt....

Im Sinne von "mindestens ein ..."


Sagt Dir vielleicht der []Zwischenwertsatz etwas?


Gruß
Loddar


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