steigung im kurvenpunkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
An die Funktion [mm] f:x\to x^{3} [/mm] ist im Punkt P(1/1) die tangente an die kurve zu legen.
b)die tangente hat mit der kurve noch einen weiteren schnittpunkt. Bestimmen Sie ihn.
Anleitung: lösen Sie die entstehende gleichung durch raten.
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a)ich hab ausgerechnet, dass die steigung der kurve im punkt (1/1) 3 beträgt, weiß aber nicht, wie ich den winkel finde, in dem ich die tangente an die kurve lege.
b)
die tangente schneidet die kurve wahrscheinlich noch einmal bei (-x/ -y), ich würde tippen bei (-1/-1) weil die kurve symmetrisch zum ursprung ist.
allerdings verstehe ich dabei die anleitung nicht. Was meinen die denn mit "entstehende gleichung"?
Wie bestimme ich den punkt?
ich danke schon im voraus.
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Hallo isabell_88,
> a)
> An die Funktion [mm]f:x\to x^{3}[/mm] ist im Punkt P(1/1) die
> tangente an die kurve zu legen.
>
> b)die tangente hat mit der kurve noch einen weiteren
> schnittpunkt. Bestimmen Sie ihn.
> Anleitung: lösen Sie die entstehende gleichung durch
> raten.
>
> a)ich hab ausgerechnet, dass die steigung der kurve im
> punkt (1/1) 3 beträgt, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") weiß aber nicht, wie ich den winkel
> finde, in dem ich die tangente an die kurve lege.
Den Winkel brauchst du doch nicht, du hast die Steigung der Tangente berechnet und einen Punkt $P=(1/1)$ auf der Tangente gegeben
Tangentengleichung [mm] $y=m\cdot{}x+b$
[/mm]
$m$ hast du berechnet, $b$ bekommst du, wenn du $P=(x/y)=(1/1)$ in die Tangentengleichung einsetzt
>
> b)
> die tangente schneidet die kurve wahrscheinlich noch
> einmal bei (-x/ -y), ich würde tippen bei (-1/-1) weil die
> kurve symmetrisch zum ursprung ist.
> allerdings verstehe ich dabei die anleitung nicht. Was
> meinen die denn mit "entstehende gleichung"?
> Wie bestimme ich den punkt?
Wenn du die Tangentengleichung berechnet hast, setze sie mit der Funktionsgleichung gleich.
Einen gemeinsamen Punkt, nämlich $P=(1/1)$ kennst du ja schon ...
>
> ich danke schon im voraus.
>
LG
schachuzipus
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$ [mm] y=m\cdot{}x+b [/mm] $
[mm] 1=3\cdot1+b
[/mm]
b=-2
zu b)
[mm] x^{3}=3\cdot1-2
[/mm]
und was hab ich nun davon?
da kommt doch wieder 1 raus....?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]y=m\cdot{}x+b[/mm]
> [mm]1=3\cdot1+b[/mm]
> b=-2
Das heißt doch, die Tangente ist die Gerade t(x)=3x-2
>
> zu b)
>
> [mm]x^{3}=3\cdot1-2[/mm]
>
> und was hab ich nun davon?
> da kommt doch wieder 1 raus....?
Jetzt sollst du die Schnittpunkte von t(x) und f(x) bestimmen.
Also t(x)=f(x)
[mm] \gdw [/mm] 3x-2=x³
[mm] \gdw [/mm] x³-3x+2=0
Das ist ohne weiteres nicht lösbar, du weist aber, dass sich t(x) und f(x)bei x=1 schneiden berühren, also hast du schonmal eine Schnittstelle.
Dann mache doch mal die Polynomdivision [mm] (x³+0x²-3x+2):(x\red{-}1)=\Box
[/mm]
[mm] \Box [/mm] ist nun eine quadratische Funktion, deren Nullstellen du dann mit der p-q-Formel bestimmen kannst, um die weiteren Schnittstellen von t und f zu bekommen.
Die y-Koordinate der Schnittpunkte bekommst du dann, wenn du die Schnittstellen in t oder f einsetzt
Marius
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$ [mm] (x³+0x²-3x+2):(x\red{-}1) [/mm] $ [mm] =x^{2}+x-2
[/mm]
nach der p/q formel
[mm] x^{2}+x-2=0
[/mm]
ergibt sich:
x1=1
x2=-2
was muss ich damit jetzt genau machen?
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Hallo isabell!
Du hast nun neben [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ die 2. Schnittstelle bei [mm] $x_2 [/mm] \ = \ -2$ berechnet.
Um einen Schnittpunkt zu erhalten, musst Du nunmehr den zugehörigen Funktionswert [mm] $y_2 [/mm] \ = \ f(-2) \ = \ ...$ ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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ach so, dann ist die 2. schnittstelle bei (-2/-8)
ich danke euch sehr
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Hallo isabell!
Gruß vom
Roadrunner
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