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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] R^2 [/mm] -> R
(x,y) -> [mm] e^y*(1+x^2)
[/mm]
Bestimmen sie den Gradienten und die stationären Punkte |
grad f = [mm] (\bruch{df}{dx} [/mm] , [mm] \bruch{df}{dy})
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] 2xe^y
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] e^y [/mm] * [mm] (1+x^2)
[/mm]
stationärere Punkt vorhanden wenn grad f(x,y) = nullvektor
gibt es immer einen stationären punkt? denn ich finde kein paar (x/y) so dass beide partiellen ableitungen wegfallen.
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Hallo BlubbBlubb,
> Gegeben sei die Funktion
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> f: [mm]R^2[/mm] -> R
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> (x,y) -> [mm]e^y*(1+x^2)[/mm]
>
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> Bestimmen sie den Gradienten und die stationären Punkte
> grad f = [mm](\bruch{df}{dx}[/mm] , [mm]\bruch{df}{dy})[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]2xe^y[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]e^y[/mm] * [mm](1+x^2)[/mm]
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> stationärere Punkt vorhanden wenn grad f(x,y) = nullvektor
>
> gibt es immer einen stationären punkt? denn ich finde kein
> paar (x/y) so dass beide partiellen ableitungen wegfallen.
Es gibt auch keines (zumindest kein reelles  ), also gibt's hier keine stationären Punkte
Ich füge mal den Graphen an ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Do 02.04.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok das ist gut ^^ danke
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| Aufgabe | | Zeigen Sie die positivie Definitheit der Hesse-Matrix anhand der Definition! |
Bei meiner Recherche im Internet hab ich folgende Definition gefunden:
Eine symmetrische 2 X 2 - Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] ist ...
... positiv definit, wenn a > 0 und a * c > [mm] b^2
[/mm]
... negativ definit, wenn a < 0 und a * c > [mm] b^2
[/mm]
... positiv semidefinit, wenn a [mm] \ge [/mm] 0 und c [mm] \ge [/mm] 0 und a*c [mm] \ge b^2
[/mm]
... indefinit, wenn a * c < [mm] b^2
[/mm]
Eine Hesse-Matrix ist immer symmetrisch!
Die Hesse Matrix sieht meines achtens so aus:
[mm] H_f [/mm] = [mm] \pmat{ 2e^y & 2xe^y \\ 2xe^y & e^y*(1+x^2) }
[/mm]
Wenn ich nun die Regeln anwende die ich im Internet gefunden habe folgt daraus:
[mm] 2e^y*(e^y*(1+x^2)) [/mm] > [mm] 4x^2e^{2y}
[/mm]
[mm] 2e^{2y} [/mm] + [mm] 2e^{2y}x^2 [/mm] > [mm] 4x^2e^{2y}
[/mm]
daraus folgt also, dass die hesse matrix positiv definit ist.
Gibts denn noch ein anderes Verfahren, eine andere Definition woran man die Definitheit erkennen kann, dass nicht allzuschwer ist, welches man in einer Klausur gut anwenden könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> Eine Hesse-Matrix ist immer symmetrisch!
ja, zumindest wenn deine Funktion ausreichend schön ist, und dann die Symmetrie der zweiten Ableitungen gilt.
>
>
> Die Hesse Matrix sieht meines achtens so aus:
>
> [mm]H_f[/mm] = [mm]\pmat{ 2e^y & 2xe^y \\ 2xe^y & e^y*(1+x^2) }[/mm]
>
>
> Wenn ich nun die Regeln anwende die ich im Internet
> gefunden habe folgt daraus:
>
> [mm]2e^y*(e^y*(1+x^2))[/mm] > [mm]4x^2e^{2y}[/mm]
>
> [mm]2e^{2y}[/mm] + [mm]2e^{2y}x^2[/mm] > [mm]4x^2e^{2y}[/mm]
>
> daraus folgt also, dass die hesse matrix positiv definit
> ist.
>
Das habe ich jetzt nicht kontrollier, aber ich glaube, dass du die Regeln richtig anwenden kannst. Normalerweise guckt man sich die Hesse-matrix dann aber für die "stationären"-Punkte an, und setzt dann die Werte ein, um dann zu schauen, ob sie pos. def. ist oder nicht. Denn es kann passieren, dass die Hesse-matrix für einige Punkte pos. def. ist, für andere aber nicht.
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> Gibts denn noch ein anderes Verfahren, eine andere
> Definition woran man die Definitheit erkennen kann, dass
> nicht allzuschwer ist, welches man in einer Klausur gut
> anwenden könnte?
Ja. Das ist das ![[]](/images/popup.gif) Hurwitz-Kriterium
Das arbeitet mit Unterdeterminanten, womit man ab und zu recht schnell zum Ziel kommen kann.
LG
Kroni
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