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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:22 Sa 21.03.2009 | | Autor: | krainer |
| Aufgabe | | Zwei Gasbehälter [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] seien durch eine Membran, die von den Gasmoleküen passiert werden kann, miteinander verbunden. Wir gehen davon aus, dass die Molekularbewegungen dafür sorgen, dass in jedem Schritt genau ein zufällig ausgewähltes Molekül (Gleichverteilung) von [mm]A[/mm] nach [mm]B[/mm] oder umgekehrt wechselt. Sei [mm]N[/mm] die Anzahl der Moleküle in beiden Behältern und [mm]X_n[/mm] die Anzahl der Moleküle in Behälter [mm]A[/mm] nach [mm]n[/mm] Schritten. Dann bildet [mm](X_{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}[/mm] eine Markovkette mit Zustandsraum [mm]M=\left\{ 0,\ldots,N\right\}[/mm]. |
Hallo Leute!
Ich versuche zu dieser Problemstellung die stationäre Verteilung zu berechnen.
Folgendes habe ich mir schon klar gemacht:
- [mm]X_n=i[/mm] ist die Anzahl von Molekülen in Behälter [mm]A[/mm]. Dann wird mit der Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{i}{N}[/mm] ein Molekül aus Behälter [mm]A[/mm] nach Behälter [mm]B[/mm] wechseln. Analog: Mit der Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{(N-i)}{N}[/mm] wird ein Molekül aus Behälter [mm]B[/mm] nach Behälter [mm]A[/mm] wechseln.
- Daraus ergeben sich die Übergangswahrscheinlichkeitein:
[mm] p_{ij}^{(n,n+1)}=\begin{cases}
\frac{i}{N} & \mathrm{,falls}\: j=i-1\:\mathrm{mit}\:1\leq i\leq N\\
\frac{N-i}{N} & \mathrm{,falls}\: j=i+1\:\mathrm{mit}\:0\leq i\leq N-1\\
0 & \mathrm{,sonst}\end{cases}
[/mm]
- Damit lässt sich dann die Übergangsmatrix [mm]P[/mm] aufstellen:
[mm] P=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0\\
\frac{1}{N} & 0 & \frac{N-1}{N} & 0\\
0 & \frac{2}{N} & 0 & \frac{N-2}{N}\\
& & & & \ddots\end{array}\right)
[/mm]
Mein Problem ist nun die Berechnung der stationären Verteilung.
In der Lösung wurde dabei so gestartet:
[mm] \pi P=\pi\;\Leftrightarrow\;\begin{cases}
\frac{1}{N}\pi_{1}=\pi_{0}\\
\frac{N-i+1}{N}\pi_{i-1}+\frac{i+1}{N}\pi_{i+1}=\pi_{i} & \mathrm{fuer}\: i=1,\ldots,N-1\\
\frac{1}{N}\pi_{N-1}=\pi_{N}\end{cases}
[/mm]
Wie kommt man auf diese Gleichungen? Meine Mathematikfähigkeiten halten sich in Grenzen, deswegen wäre ich für eine möglichst einfache Erklärung sehr dankbar. 
Gruß, Rainer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:46 Sa 21.03.2009 | | Autor: | martingale |
Hallo Rainer,
eine Frage muss es nicht in der ersten Zeile statt die 1, (N-1)/N stehen?
Gruß,
Marko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Sa 21.03.2009 | | Autor: | krainer |
> muss es nicht in der ersten Zeile statt die 1,
> (N-1)/N stehen?
Hi Marko!
Nein die 1 stimmt schon, denke ich, denn
[mm]p_{01}=\frac{N-1}{N}=1[/mm].
Außerdem würde sonst die Zeilensumme nicht 1 ergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Sa 21.03.2009 | | Autor: | martingale |
Ja aber in der zwieten Zeile hast du ja (N-1)/N, was aber nicht gleich eins ist. Irgendwie verstehe ich es nicht so ganz. Ansonsten die stationäre Verteilung kriegt man durch lösen von LGS.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 21.03.2009 | | Autor: | martingale |
Ja du hast Recht, wenn die Kette sich im Zustand 0 befindet, d.h. im Behälter A gibt es keine Moleküle, dann laut Aufgabenstellung muss die Kette auf jeden Fall (mit Wahrscheinlichkeit 1) in der Zustand 1 übergehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 23.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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