stationäre Stellen bei R³ < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 31.07.2013 | | Autor: | Klass |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die stationären Stellen für die folgende Funktion f : R³
--> R und entscheiden
Sie, ob lokale bzw. globale Minima oder Maxima vorliegen:
f(x, y, z) = 2x² + y² + 4z² − 2yz − 2x − 6y + 8. |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter, undzwar:
Zunächst muss man doch die jeweiligen partiellen Ableitungen bilden und Nullsetzen, richtig?
Also, einmal partiell ableiten nach X, dann nach Y und dann nach Z.
Und anschließend muss man doch Nullsetzen und Gleichsetzen und die jeweiligen Variablen X, Y und Z ausrechnen.
Aber was dann? Wie komme ich dann letztlich zu den Punkten?
Und wenn ich die jeweiligen Punkte habe, was dann? Muss ich diese dann in die zweite Ableitung einsetzen? Wenn das Ergebnis kleiner als 0 ist, dann Maxima, analog Minimum? Oder wie rechnet man das aus?
Danke im Voraus für jede Hilfe. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 31.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja zuerst musst du die Punkte bestimmen, wo grad f =0 ist also alle partiellen abl. 0
dann die verallgemeinerte 2 te Ableitung= Hessematrix an den gefundenen Stellen untersuchen. Aber das kam doch sicher in der Vorlesung? Sieh mal in deinem Skript oder buch nach.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 31.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die stationären Stellen für die folgende
> Funktion f : R³
> --> R und entscheiden
> Sie, ob lokale bzw. globale Minima oder Maxima vorliegen:
>
> f(x, y, z) = 2x² + y² + 4z² − 2yz − 2x − 6y + 8.
> Hallo,
>
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter, undzwar:
>
> Zunächst muss man doch die jeweiligen partiellen
> Ableitungen bilden
dann rechne sie doch mal vor - bzw. berechne den Gradienten, wie Leduart
schon sagte!
> und Nullsetzen, richtig?
Richtig: Das ist eine "notwendige Bedingung":
![[]](/images/popup.gif) Satz 20.17
> Also, einmal partiell ableiten nach X, dann nach Y und
> dann nach Z.
Manchmal redet man besser weniger, sondern zeigt, was man gerechnet
hat: Also vorführen bitte!
> Und anschließend muss man doch Nullsetzen und Gleichsetzen
> und die jeweiligen Variablen X, Y und Z ausrechnen.
Siehe oben!
> Aber was dann? Wie komme ich dann letztlich zu den
> Punkten?
Was hast Du bisher gerechnet und "wo bleibst Du hängen"? Siehe oben!
> Und wenn ich die jeweiligen Punkte habe, was dann? Muss ich
> diese dann in die zweite Ableitung einsetzen? Wenn das
> Ergebnis kleiner als 0 ist, dann Maxima, analog Minimum?
Das Ergebnis von was?
> Oder wie rechnet man das aus?
Um "die Art" der Extremstelle zu bestimmen, da hilft etwa
Satz 20.21
(Lies' auch alles, was kurz davor steht, denn Du musst mit den Begriffen
"Hesse-Matrix" und "Definitheit" was anfangen können!)
Das sind aber "nur" hinreichende Bedingungen. (So weißt Du sicher etwa,
dass [mm] $f(x):=x^4$ [/mm] an [mm] $x_0=0$ [/mm] ein lokales (da sogar globales) Minimum
vorliegen hat, aber "die zugehörige Hessematrix [mm] $(f\,''(0))=(12*0^2)=(0)$"
[/mm]
nicht positiv definit - wohl aber positiv semi-definit - ist!)
Gruß,
Marcel
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