stationäre Stellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 12.06.2007 | | Autor: | unwanted |
| Aufgabe | Bestimmen sie die stationären Stellen für die folgenden Funktionen f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] bzw [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] und entscheiden sie ob lokale Minima, Maxima vorliegen. Bestimmen sie für die Funktionen f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] auch die Funktionsswerte an den stationären Stellen.
a) f(x, y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 4x - 6y +1
b) f(x, y, z) = 2xy - [mm] x^2 [/mm] - [mm] 3y^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] + x + 6z |
Hallo an alle da draußen :)
Ich bin gerade dabei mich durch die Definitionen zu lesen um meine Aufgaben zu lösen. Was ich an Material habe hilft mir im Moment nich viel weiter, also dachte ich ich frag mal hier ob jemand vielleicht die Zeit und Lust hat mir zu helfen. Ich würde mich zum Beispiel freuen wenn jemand mir das Schema zeigen könnte wie man solche Aufgaben löst, so dass ich meine Aufgaben dann alleine rechen kann. Oder ein Beispiel an dem ich mich orientieren kann. Das hilft mir immer sehr und zu dieser Art Aufgabe habe ich im Moment kein Beispiel. Vielen Dank für eure Mühen schonmal im Voraus.
Grüsse von mir :)
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Du könntest damit beginnen, die Gradienten und Hesse-Matrizen zu berechnen. Zur Not kann man aber auch eine Umgebungsbetrachtung machen, um festzustellen, ob man Extremwerte gefunden hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 12.06.2007 | | Autor: | unwanted |
Danke für die Antwort, ich verstehe nur die Definition der Gradientenbildung nicht. Es muss doch auch möglich sein das in einfachen Worten zu erklären? Wüsste jemand wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 12.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie im eindimensionalen bestimmt man die Stellen als stationäre Punkte, in denen sich die Funktion bei Änderung der fuktionswerte (infinitesimal) nicht ändert. f(x,y) kann sich bei Änderung von x und bei Äanderung von y ändern. also muss ich die Änderung in x-Richtung = Ableitung nach x bei festem y und die Änderung in y Richtung, entsprechend berechnen. wenn beide 0 sind ändert sich die fkt. lokal nicht, das nennt man stationär. an Stelle der 2. Ableitung im 1-d tritt die Hesse Matrix, um zu entscheiden ob ein Max oder Min oder nur ein stationärer Punkt (Sattel) vorliegt.
Die erklärung dazu ist mir zu lang, dazu gibts ja auch Vorlesungen und Bücher.
Wie im 1-d Fall kannst du auch Punkte in der Umgebung des stationären Pktes untersuchen, statt die Hessematrix zu bemühen. aber vorsicht, für ein Max etwa müssen die Werte daneben nicht nur in x Richtung oder y Richtung kleiner werden, sondern in ner ganzen Umgebung des Punktes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 12.06.2007 | | Autor: | unwanted |
Ich habe mal versucht a) zu lösen
f(x,y) = [mm] x^2+y^2-4x-6y+1 [/mm]
wir wollen f auf extrema untersuchen. gradientenbildung:
grad f(x,y) = (2x-4, 2y-6)
um die möglichen stationären stellen von f zu finden, setzen wir
grad f(x,y) = (0,0)
das is äquivalent zum gleichungssystem
2x-4=0
2y-6=0
einzige lösung des gleihungssystem und damit einzige stationäre stelle von f ist
(x,y) = (2,3)
wir bilden die hessische matrix H von f n der stelle [mm] x^{0} [/mm] = (2,3). es ergibt sich
H= [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
diese matrix ist positiv definit. f hat bei (2,3) ein streng lokales minimum.
der funktionswert an der stationärenstelle ist
f(2,3) = -12
ist das so richtig?
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Hiho,
> f(x,y) = [mm]x^2+y^2-4x-6y+1[/mm]
> grad f(x,y) = (2x-4, 2y-6)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> um die möglichen stationären stellen von f zu finden,
> setzen wir
> grad f(x,y) = (0,0)
> das is äquivalent zum gleichungssystem
> 2x-4=0
> 2y-6=0
> einzige lösung des gleihungssystem und damit einzige
> stationäre stelle von f ist
> (x,y) = (2,3)
> H= [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
> diese matrix ist positiv definit. f hat bei (2,3) ein
> streng lokales minimum.
Allerdings: Warum ist H positiv definit?
> der funktionswert an der stationärenstelle ist
> f(2,3) = -12
> ist das so richtig?
Gruß,
Gono.
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