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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 27.01.2022 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Hersteller von Maschinen, mit denen man Werkstücke fertigen kann, ist der Meinung, dass - nach der letzten Verbesserung der Maschinen - der Ausschussanteil höchstens 3% beträgt.
Es werden hundert Werkstücke geprüft. Das Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] soll 5% betragen.
a) Bestimmen Sie den Annahme- und Verwerfungsbereich.
b) Wie groß ist der ß-Fehler, wenn der Ausschussanteil tatsächlich 4% [5%, 6%] beträgt. |
Moin Moin!
zu a)
Zunächst würde ich hier die Nullhypothese - aus Sicht des Herstellers - mit dem Ziel diese abzulehnen, so formulieren:
[mm] H_0: [/mm] p > 0,03 --- [mm] H_1: [/mm] p [mm] \le [/mm] 0,03
Es handelt sich also bei [mm] H_0 [/mm] um eine linksseitige Hypothese bzw. es geht um einen linksseitigen Hypothesentest.
Der Annahmebereich ergibt sich aus [mm] [\mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] ; n]
mit n = 100 [mm] \mu [/mm] = 3 [mm] \sigma [/mm] = 1,71 z = 1,64
Ferner ist X die Anzahl der Ausschuss-Stücke in der Stichprobe.
[ 3 - 1,64*1,71 ; 100]
[0,2 ; 100]
[1; 100]
zu b)
Einen Fehler 2. Art kann ich nur begehen, wenn ich im Annahmebereich der Hypothese lande, und die tatsächlich geltende Wahrscheinlichkeit kenne.
[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0169
[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9831
[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0059
[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9941
[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0021
[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9979
Ist das so richtig?
Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je weiter [mm] p_1 [/mm] von [mm] p_0 [/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt sein???
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 27.01.2022 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ein Hersteller von Maschinen, mit denen man Werkstücke
> fertigen kann, ist der Meinung, dass - nach der letzten
> Verbesserung der Maschinen - der Ausschussanteil höchstens
> 3% beträgt.
>
> Es werden hundert Werkstücke geprüft. Das
> Signifikanzniveau [mm]\alpha[/mm] soll 5% betragen.
>
> a) Bestimmen Sie den Annahme- und Verwerfungsbereich.
>
>
> b) Wie groß ist der ß-Fehler, wenn der Ausschussanteil
> tatsächlich 4% [5%, 6%] beträgt.
> Moin Moin!
>
> zu a)
>
> Zunächst würde ich hier die Nullhypothese - aus Sicht des
> Herstellers - so formulieren, mit dem Ziel diese
> abzulehnen.
>
> [mm]H_0:[/mm] p > 0,03 --- [mm]H_1:[/mm] p [mm]\le[/mm] 0,03
>
> Es handelt sich also bei [mm]H_0[/mm] um eine linksseitige
> Hypothese.
>
> Der Annahmebereich ergibt sich aus [mm][\mu[/mm] - [mm]z*\sigma[/mm] ; n]
>
> mit n = 100 [mm]\mu[/mm] = 3 [mm]\sigma[/mm] = 1,71 z = 1,64
>
> Ferner ist X die Anzahl der Ausschuss-Stücke in der
> Stichprobe.
>
>
> [ 3 - 1,64*1,71 ; 100]
>
> [0,2 ; 100]
>
> [1; 100]
Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm] $\sigma [/mm] < 3$ sollte man einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.
> zu b)
>
> Einen Fehler 2. Art kann ich nur begehen, wenn ich im
> Annahmebereich der Hypothese lande, und die tatsächlich
> geltende Wahrscheinlichkeit kenne.
>
>
> [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
> [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0169
> [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9831
>
> [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
> [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0059
> [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9941
>
> [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
> [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0021
> [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9979
>
>
> Ist das so richtig?
>
> Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt
> sein???
Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der ß-Fehler ab.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 29.01.2022 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
gut, mir ist durchaus bewusst, dass man für eine gute Näherung eine Standardabweichung [mm] \sigma \ge [/mm] 3 braucht.
> Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm]\sigma < 3[/mm] sollte man
> einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.
Welchen?
:
> > Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> > weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt sein???
> Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch
> von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der
> ß-Fehler ab.
Wie kann man das allgemeiner formulieren?
1. Fall [mm] H_0: p_0 [/mm] > 0,03.
Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03 ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß zu. Und wenn p < 0,03 ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß ab.
2. Fall wäre [mm] H_0: p_0 [/mm] < 0,03.
Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03 ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß ab. Und wenn p < 0,03 ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß zu.
Kann man das so sagen?
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 29.01.2022 | | Autor: | statler |
Hi!
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> gut, mir ist durchaus bewusst, dass man für eine gute
> Näherung eine Standardabweichung [mm]\sigma \ge[/mm] 3 braucht.
>
> > Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm]\sigma < 3[/mm] sollte man
> > einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.
>
> Welchen?
Da ich ja näherungsweise weiß, wo ich suchen muß, also hier am linken Ende der Verteilung, würde ich mit dem TR eine verkürzte Tabelle der Verteilung erstellen. Da 3 der Erwartungswert ist, reichen auf jeden Fall die Werte von 0 bis 3. Aus meiner Sicht ist das ein rechnerisches (und exaktes) Verfahren, allerdings nicht handschriftlich, was wegen der Binomialkoeffizienten und der großen Exponenten auch schwierig wäre.
> > > Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> > > weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt
> sein???
> > Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch
> > von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der
> > ß-Fehler ab.
>
> Wie kann man das allgemeiner formulieren?
>
> 1. Fall [mm]H_0: p_0[/mm] > 0,03.
> Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03
> ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß zu. Und wenn p < 0,03
> ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß ab.
In meiner ersten Antwort war ich etwas schludrig, pardon. Einen ß-Fehler machst du, wenn du ein falsches [mm] $H_{0}$ [/mm] annimmst. Aber wenn dein wahres p > 0,03 ist, ist [mm] $H_{0}$ [/mm] wahr und du kannst keinen ß-Fehler machen.
Zur Bestimmung des ß-Fehlers brauchst du nur die p < 0,03 zu untersuchen. Nur sie können zu einem ß-Fehler führen. Und bei p = 0 ist die Wahrscheinlichkeit für einen ß-Fehler auch 0.
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> 2. Fall wäre [mm]H_0: p_0[/mm] < 0,03.
> Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03
> ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß ab. Und wenn p < 0,03
> ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß zu.
Analog zu oben. Vielleicht solltest du ja so herum testen, also aus Kundensicht, dann hätten diese Zusatzfragen mehr Sinn.
Jetzt ist das hoffentlich klarer.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 29.01.2022 | | Autor: | hase-hh |
Ja, super! Das war mein Gedankenfehler.
Einen Fehler 2. Art kann man nur machen, wenn [mm] H_0 [/mm] falsch ist.
Vielen Dank!!
[ Übrigens ein rechtsseitiger Test führt auch hinsichtlich des Fehlers 2. Art zu plausiblen Ergebnissen. :) ]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 29.01.2022 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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