spezielle/allgemeine Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 10.07.2010 | | Autor: | newneo |
Hallo!
Also, ich habe ein homogenes, lineares Gleichungssystem (A*x = b) und sollte dazu die allgemeine und dann auch eine spezielle Lösung mittels Pseudoinverser (ohne weitere Angaben oder Einschränkungen) finden.
Die allgemeine Lösung habe ich gefunden, indem ich auf Zeilenstufenform gebracht habe und dann die verbleibenden Gleichungen durch einsetzen gelöst habe.
Ergebnis: k * [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
Gut, dann sollte ich eine spezielle Lösung mittels Pseudoinverser finden. Habe ich auch gemacht, indem ich einfach x = pseudoinverse * b gesetzt habe.
Ergebnis: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Soweit so gut. Was ich allerdings nicht verstehe (und auch niergends befriedigend nachlesen konnte) ist, was jetzt eigentlich der Unterschied zwischen spezieller und allgemeiner Lösung ist. Ich meine die allgemeine Lösung ist logisch, weil man alle Vielfachen des Vektors [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 1} [/mm] in die reduzierte Zeielenstufenform bringen kann und hinten kommt für alle Zeilen 0 raus (war ja auch ein homogenes System).
Aber was soll eigentlich so eine spezielle Lösung? Warum gibts die? Und die allgemeine Lösung ist ja auch der Nullvektor wenn ich k = 0 setze. D.h. diese Lösung ist ja eigentlich ja schon in der allgemeinen Lösung enthalten, also warum ist es jetzt eine spezielle Lösung?
Danke!
Lg
Neo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Man sucht erst eine allgemeine Lösung des LGS Ax=0. Danach fragt man sich wie man das LGS Ax=b lösen möchte. Deshalb bestimmt man noch eine einzige beliebige Lösung.
Die Lösung ist dann = allgemeine Lösung + spezielle Lösung.
Es würde zum Beispiel Probleme mit sich bringen, wenn das [mm] $b\neq [/mm] 0$. Dein Lösungsraum wird meinestwegen von [mm] $b_1,b_2$ [/mm] augespannt.
Du kannst deine Lösung als Linearkombination angeben, [mm] $\alpha b_1 +\beta b_2$ [/mm] für beliebige [mm] $\alpha,\beta$
[/mm]
Für [mm] $\alpha [/mm] = 0 [mm] =\beta$. [/mm] Hast du dann keine Lösung.
Die Homogene Lösung ist ein Vektorraum und die gesamte Lösung ein affiner Raum. Die spezielle Lösung ist der zusätzlich Vektor der hinzu addiert wird.
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