spezielle Abstandsberechnung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Der_W |
| Aufgabe | | Wie viele Ebenen durch die Punkte A (2/3/4) und B (6/5/16) gibt es, die zum Ursprung einen Abstand von 2 LE haben? Bestimmen sie für jede Ebene eine Gleichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, weil ich gleich bei google direkt nach nem matheforum geschaut habe.
So zur Frage: Wir haben bis jetzt gelernt wie man alle verschiedene Abstände berechnet (2 Ebenen; Pkt-Ebene; 2 Pkt; Pkt-Gerade und heute zweier Geraden). Ich hab erstmal mit das aufgezeichnet so wies da steht und nach dem hab ich mir gedacht es gibt unendlich viele Ebenen, allerdings eine allgemeine Ebene mit variablen (außer x,y,z). Problem ist, ich komm nicht weiter. Ich hab 2 geraden aufgestellt g: [mm] x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} [/mm] + [mm] r\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 12\end{pmatrix} [/mm] und h: [mm] x=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 16\end{pmatrix} [/mm] + [mm] t\begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 12\end{pmatrix}. [/mm] Ich find allerdings keine Verwendung dafür, habe auch schon geschaut ob ich das i-wie anders aufstellen kann. Bis jetzt haben wir immer eine Ebenengleichung vorgegeben bekommen sodass wir einfach nur noch die Abstandsformel (pkt-ebene) anwenden brauchte bzw etwas umstellen. Allerdings habe ich keine Ahnung was ich da noch machen soll oder kann, deswegen bitte ich euch um hilfe, einen Tipp oder einen Ansatz das ich das irgendwie ausrechnen kann.
Achso, die Aufgabe ist zu nächste Woche Dienstag, deswegen hoffe ich, dass ich recht schnell eine Antwort bekomme.
mfg
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Hallo [mm] Der_W [/mm] und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Wie viele Ebenen durch die Punkte A (2/3/4) und B (6/5/16)
> gibt es, die zum Ursprung einen Abstand von 2 LE haben?
> Bestimmen sie für jede Ebene eine Gleichung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt, weil ich gleich bei google direkt
> nach nem matheforum geschaut habe.
>
> So zur Frage: Wir haben bis jetzt gelernt wie man alle
> verschiedene Abstände berechnet (2 Ebenen; Pkt-Ebene; 2
> Pkt; Pkt-Gerade und heute zweier Geraden). Ich hab erstmal
> mit das aufgezeichnet so wies da steht und nach dem hab ich
> mir gedacht es gibt unendlich viele Ebenen, allerdings eine
> allgemeine Ebene mit variablen (außer x,y,z). Problem ist,
> ich komm nicht weiter. Ich hab 2 geraden aufgestellt g:
> [mm]x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 12\end{pmatrix}[/mm] und
h: [mm] x=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 16\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 4 \\2 \\ 12\end{pmatrix}. [/mm] Ich find
> allerdings keine Verwendung dafür, habe auch schon
> geschaut ob ich das i-wie anders aufstellen kann. Bis jetzt
> haben wir immer eine Ebenengleichung vorgegeben bekommen
> sodass wir einfach nur noch die Abstandsformel (pkt-ebene)
> anwenden brauchte bzw etwas umstellen. Allerdings habe ich
> keine Ahnung was ich da noch machen soll oder kann,
> deswegen bitte ich euch um hilfe, einen Tipp oder einen
> Ansatz das ich das irgendwie ausrechnen kann.
>
> Achso, die Aufgabe ist zu nächste Woche Dienstag, deswegen
> hoffe ich, dass ich recht schnell eine Antwort bekomme.
>
> mfg
Betrachte die Koordinatenform der Ebenengleichung mit dem
noch nicht bekannten  Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3}: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=1
[/mm]
Zu bestimmen ist der Normalenvektor [mm] \vec{n}, [/mm] also 3 Variablen:
1. Punkt A liegt auf der Ebene [mm] \to [/mm] einsetzen
2. Punkt B liegt auf der Ebene [mm] \to [/mm] einsetzen
3. Abstand der Ebene vom Ursprung soll [mm] \pm [/mm] 2 sein [mm] \to [/mm] 3. Gleichung
Benutze die HNF.
Reichen diese Tipps?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Der_W |
hallo infomix,
ich verstehe den teil mit den punkten noch nicht ganz:
> Zu bestimmen ist der Normalenvektor [mm]\vec{n},[/mm] also 3
> Variablen:
>
> 1. Punkt A liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> 2. Punkt B liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> 3. Abstand der Ebene vom Ursprung soll [mm]\pm[/mm] 2 sein [mm]\to[/mm] 3.
ich versteh es glaube ich soweit das es so aussieht: E: [mm] \vec x=\begin{pmatrix} 2\\3\\4\end{pmatrix} [/mm] + [mm] r\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 16 \end{pmatrix} [/mm] +s ?
Der 3. Teil, Abstand der Ebene vom Urspung soll 2 sein. Ich verstehe nicht wie ich zum 3. Pkt komme. Ich hab ja keine Ebenengleichung, die suche ich ja und einen dritten Pkt hab ich auch nicht. Hab ich das jetzt falsch verstanden, bzw falsch angefangen?
mfg
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> > Zu bestimmen ist der Normalenvektor [mm]\vec{n},[/mm] also 3
> > Variablen:
> >
> > 1. Punkt A liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > 2. Punkt B liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > 3. Abstand der Ebene vom Ursprung soll [mm]\pm[/mm] 2 sein
>
> ich versteh es glaube ich soweit das es so aussieht:
> E: [mm]\vec x=\begin{pmatrix} 2\\3\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 16 \end{pmatrix}+s [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist eher unpraktisch, mit der Parameterform zu starten.
Überdies müsstest du dann statt [mm] (6/5/16)^T [/mm] den Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] nehmen,
und s wäre nur der Faktor vor einem weiteren (aber
eben nicht leicht zu gewinnenden) Spannvektor.
Beginne lieber mit der Normalengleichung:
E: $\ a*x+b*y+c*z+d=0$
Darin darfst du einen Parameter so ziemlich frei wählen.
Mein Vorschlag: Setze c:=1 !
Dann bleiben 3 Unbekannte a,b,d, für welche du durch die
oben genannten 3 Bedingungen 3 Gleichungen aufstellen
kannst.
> Der 3. Teil, Abstand der Ebene vom Urspung soll 2 sein. Ich
> verstehe nicht wie ich zum 3. Pkt komme. Ich hab ja keine
> Ebenengleichung, die suche ich ja und einen dritten Pkt hab
> ich auch nicht. Hab ich das jetzt falsch verstanden, bzw
> falsch angefangen?
Bringe die Ebenengleichung auf HNF ("Hessesche Normalform")
und schau nach, wie man diese für das Abstandsproblem
Punkt/Ebene einsetzen kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> > > 1. Punkt A liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > > 2. Punkt B liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > > 3. Abstand der Ebene vom Ursprung soll [mm]\pm[/mm] 2 sein
> Beginne lieber mit der Normalengleichung:
>
> E: [mm]\ a*x+b*y+c*z+d=0[/mm]
> Darin darfst du einen Parameter so ziemlich frei wählen.
> Mein Vorschlag: Setze c:=1 !
> Dann bleiben 3 Unbekannte a,b,d, für welche du durch die
> oben genannten 3 Bedingungen 3 Gleichungen aufstellen
> kannst.
> Bringe die Ebenengleichung auf HNF ("Hessesche
> Normalform")
> und schau nach, wie man diese für das Abstandsproblem
> Punkt/Ebene einsetzen kann.
morgen,
also ich hab mir die Gleichungen jetzt erstmal soweit aufgestellt, wie ich es verstanden habe.
1. E: [mm]\ a*2+b*3+c*4+d=0[/mm]
2. E: [mm]\ a*6+b*5+c*16+d=0[/mm]
3. E: [mm]\ a*x+b*y+z+d=0[/mm]
Was mir allerdings aufgefallen ist, wir haben im Unterricht die Normalengleichung immer so aufgeschrieben: E: [mm]\ a*x+b*y+c*z=d[/mm] . Wenn ich das jetzt aber so schreibe wie du das gesagt hast, müsste es doch eigendlich E: [mm]\ a*x+b*y+c*z [red] - [/red] d=0[/mm] sein, wenn ich mir das so umstelle.
Die andere frage ist, jetzt muss ich doch eig erstmal den Gauß'schen Algorithmus anwenden um mit den Gleichungen arbeiten bzw sie umstellen zu können, das am ende nur noch eine übrigbleibt?
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> > > > 1. Punkt A liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > > > 2. Punkt B liegt auf der Ebene [mm]\to[/mm] einsetzen
> > > > 3. Abstand der Ebene vom Ursprung soll [mm]\pm[/mm] 2 sein
>
> > Beginne lieber mit der Normalengleichung:
> >
> > E: [mm]\ a*x+b*y+c*z+d=0[/mm]
>
> > Darin darfst du einen Parameter so ziemlich frei wählen.
> > Mein Vorschlag: Setze c:=1 !
> > Dann bleiben 3 Unbekannte a,b,d, für welche du durch
> die
> > oben genannten 3 Bedingungen 3 Gleichungen aufstellen
> > kannst.
>
> > Bringe die Ebenengleichung auf HNF ("Hessesche
> > Normalform")
> > und schau nach, wie man diese für das Abstandsproblem
> > Punkt/Ebene einsetzen kann.
>
>
> morgen,
> also ich hab mir die Gleichungen jetzt erstmal soweit
> aufgestellt, wie ich es verstanden habe.
> 1. E: [mm]\ a*2+b*3+c*4+d=0[/mm]
> 2. E: [mm]\ a*6+b*5+c*16+d=0[/mm]
> 3. E: [mm]\ a*x+b*y+z+d=0[/mm]
c=1 auch in die ersten beiden Gleichungen einsetzen !
> Was mir allerdings aufgefallen ist, wir haben im Unterricht
> die Normalengleichung immer so aufgeschrieben: E: [mm]\ a*x+b*y+c*z=d[/mm]
das wäre auch möglich. Lies dir aus, was dir besser behagt !
> Wenn ich das jetzt aber so schreibe wie du das gesagt
> hast, müsste es doch eigendlich E: [mm]\ a*x+b*y+c*z [red]-[/red] d=0[/mm]
> sein, wenn ich mir das so umstelle.
>
> Die andere frage ist, jetzt muss ich doch eig erstmal den
> Gauß'schen Algorithmus anwenden um mit den Gleichungen
> arbeiten bzw sie umstellen zu können, das am ende nur noch
> eine übrigbleibt?
Genau. Eliminiere mittels (1.) und (2.) zwei der Parameter
und bringe die Ebenengleichung auf eine Form, in der nur
noch ein Parameter (a oder b oder d) steckt. Dann kommen
die Überlegungen mit der HNF.
LG Al-Chw.
der nur noch ein einziger Parameter (
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> 1. E: [mm]\ a*2+b*3+4=d[/mm]
> 2. E: [mm]\ a*6+b*5+16=d[/mm]
> 3. E: [mm]\ a*x+b*y+z=d[/mm]
> Genau. Eliminiere mittels (1.) und (2.) zwei der Parameter
> und bringe die Ebenengleichung auf eine Form, in der nur
> noch ein Parameter (a oder b oder d) steckt. Dann kommen
> die Überlegungen mit der HNF.
Ich habe mir das jetzt soweit ausgerechnet, allerdings gibt es ein problem. Ich kann mit der (1.) und (2.) nicht 2 Parameter gleichzeitig eliminieren, oder irre ich mich da?
Hab die erste mit 3 erweitert um den Parameter a zu eliminieren und am ende komme ich da auf b=2d - 4 . Setzte ich das für b in die (1.) ein komme ich für a auf a=-2,5d - 8 . Setz ich jetzt a und b in (1.) ein komme ich am Ende auf d=d. das ist zwar im Grunde eine wahre Aussage, aber die bringt mich ja nicht weiter, dadurch hab ich ja immer noch nicht die Parameter a, b oder d.
Ich muss doch hier irgendwo einen Denkfehler drin haben?
mfg
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> > 1. E: [mm]\ a*2+b*3+4=d[/mm] (*)
> > 2. E: [mm]\ a*6+b*5+16=d[/mm] (*)
> > 3. E: [mm]\ a*x+b*y+z=d[/mm]
Die mit (*) bezeichneten Gleichungen sind nicht mehr
Gleichungen für die Ebene E, sondern Gleichungen
für die Parameter a,b,d, welche sich aus den Bedingungen
(1.) [mm] A\in{E} [/mm] und (2.) [mm] B\in{E} [/mm] ergeben.
> > Genau. Eliminiere mittels (1.) und (2.) zwei der Parameter
> > und bringe die Ebenengleichung auf eine Form, in der
> > nur noch ein Parameter (a oder b oder d) steckt.
> > Dann kommen die Überlegungen mit der HNF.
>
>
> Ich habe mir das jetzt soweit ausgerechnet, allerdings gibt
> es ein problem. Ich kann mit der (1.) und (2.) nicht 2
> Parameter gleichzeitig eliminieren, oder irre ich mich da?
> Hab die erste mit 3 erweitert um den Parameter a zu
> eliminieren und am ende komme ich da auf b=2d - 4 .
da muss was schief gelaufen sein ...
> Setze ich das für b in die (1.) ein komme ich für a auf a=-2,5d
> - 8 . Setz ich jetzt a und b in (1.) ein komme ich am Ende
> auf d=d. das ist zwar im Grunde eine wahre Aussage, aber
> die bringt mich ja nicht weiter, dadurch hab ich ja immer
> noch nicht die Parameter a, b oder d.
> Ich muss doch hier irgendwo einen Denkfehler drin haben?
>
> mfg
Aus [mm] $\frac{3*(1)-(2)}{2}$ [/mm] erhalte ich: $\ [mm] d=2\,b-2$ [/mm]
und aus [mm] $\frac{(2)-(1)}{2}\ [/mm] \ :$ $\ [mm] b=-2\,a-6$
[/mm]
Um Brüche (vorläufig) möglichst zu vermeiden,
empfiehlt es sich, alles mittels a auszudrücken,
also dann [mm] d=-4\,a-14 [/mm] . Nur mittels a geschrieben
haben wir dann also die Ebenengleichung
$\ E:\ [mm] a*x+(-6-2\,a)*y+1*z+4\,a+14\ [/mm] =\ 0$
LG
Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> Aus [mm]\frac{3*(1)-(2)}{2}[/mm] erhalte ich: [mm]\ d=2\,b-2[/mm]
>
> und aus [mm]\frac{(2)-(1)}{2}\ \ :[/mm] [mm]\ b=-2\,a-6[/mm]
>
> Um Brüche (vorläufig) möglichst zu vermeiden,
> empfiehlt es sich, alles mittels a auszudrücken,
> also dann [mm]d=-4\,a-14[/mm] . Nur mittels a geschrieben
> haben wir dann also die Ebenengleichung
>
> [mm]\ E:\ a*x+(-6-2\,a)*y+1*z+4\,a+14\ =\ 0[/mm]
ja, ich bin auch ne pfeife, hab meinen Fehler gefunden, habe mich beim erweitern gleich verrechnet. Jetzt im nachrechnen komme ich auch auf diese Werte.
Wenn ich jetzt die Ebenengleichung so habe, habe ich ja noch den Parameter a als Unbekannte. Kann ich jetzt gleich die HNF bilden, also indem ich die Gleichung mit dem Betrag des Normalenvektors dividiere?
Allerdings stellt sich mir jetzt auch gleich wieder die Frage, wie hilft mir die HNF zu meiner Lösung zu kommen, wie viele Ebenen diese zwei Punkte haben und wie dort der Abstand von 2 LE zum Ursprung mit reinspielt.
Die Ebenengleichung hab ich ja jetzt schon in der allgemeinform oder?
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> > Ebenengleichung:
> >
> > [mm]\ E:\ \underbrace{a*x+(-6-2\,a)*y+1*z+4\,a+14}_{\blue{T(x,y,z)}}\ =\ 0[/mm]
> Wenn ich jetzt die Ebenengleichung so habe, habe ich ja
> noch den Parameter a als Unbekannte. Kann ich jetzt gleich
> die HNF bilden, also indem ich die Gleichung mit dem Betrag
> des Normalenvektors dividiere?
Ja. Dann hast du eine neue Gleichung der Form
$\ E:\ [mm] \frac{T(x,y,z)}{|\vec{n}|}\ [/mm] =\ [mm] T_{HNF}(x,y,z)\ [/mm] =\ 0$
> Allerdings stellt sich mir jetzt auch gleich wieder die
> Frage, wie hilft mir die HNF zu meiner Lösung zu kommen,
> wie viele Ebenen diese zwei Punkte haben und wie dort der
> Abstand von 2 LE zum Ursprung mit reinspielt.
> Die Ebenengleichung hab ich ja jetzt schon in der
> Allgemeinform oder?
Ja.
Setzt man in den Term [mm] T_{HNF}(x,y,z) [/mm] die Koordinaten x,y,z
eines beliebigen Punktes [mm] P(x/y/z)\in\IR^3 [/mm] ein, so liefert er
als Ergebniswert
$\ [mm] T_{HNF}(x,y,z)\ [/mm] =\ [mm] \begin{cases} 0& falls\quad P\in E \\ \pm Abstand(P,E)& sonst\ (bzw.\ immer\, !) \end{cases}$
[/mm]
Diese Eigenschaft kannst du für die vorliegende Aufgabe
trefflich nutzen !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> > > Ebenengleichung:
> > >
> > > [mm]\ E:\ \underbrace{a*x+(-6-2\,a)*y+1*z+4\,a+14}_{\blue{T(x,y,z)}}\ =\ 0[/mm]
>
>
> > Wenn ich jetzt die Ebenengleichung so habe, habe ich ja
> > noch den Parameter a als Unbekannte. Kann ich jetzt gleich
> > die HNF bilden, also indem ich die Gleichung mit dem Betrag
> > des Normalenvektors dividiere?
>
> Ja. Dann hast du eine neue Gleichung der Form
>
> [mm]\ E:\ \frac{T(x,y,z)}{|\vec{n}|}\ =\ T_{HNF}(x,y,z)\ =\ 0[/mm]
>
> > Allerdings stellt sich mir jetzt auch gleich wieder die
> > Frage, wie hilft mir die HNF zu meiner Lösung zu kommen,
> > wie viele Ebenen diese zwei Punkte haben und wie dort der
> > Abstand von 2 LE zum Ursprung mit reinspielt.
> > Die Ebenengleichung hab ich ja jetzt schon in der
> > Allgemeinform oder?
>
> Ja.
>
> Setzt man in den Term [mm]T_{HNF}(x,y,z)[/mm] die Koordinaten
> x,y,z
> eines beliebigen Punktes [mm]P(x/y/z)\in\IR^3[/mm] ein, so liefert
> er
> als Ergebniswert
>
> [mm]\ T_{HNF}(x,y,z)\ =\ \begin{cases} 0& falls\quad P\in E \\ \pm Abstand(P,E)& sonst\ (bzw.\ immer\, !) \end{cases}[/mm]
>
> Diese Eigenschaft kannst du für die vorliegende Aufgabe
> trefflich nutzen !
ich habe jetzt für die Ebenengleichung folgendes raus:
[mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a²-24a-37}}\ =0[/mm]
jetzt hast du gesagt ich soll einen beliebigen Punkt P(x/y/z) einsetzten um zu einem Abstand zu kommen. Das ist ja jetzt im Grunde die Anwendung der Abstandsformel d(P,E) .
Aber welchen beliegen Punkt soll ich da einsetzten?
Setz ich P (0/0/0) ein kommt nichts bei raus, setzt ich den Punkt A ein bekomme ich am Ende über dem Bruchstrich 0 raus. Aber ich muss doch bestimmt irgendwie auf die 2 LE kommen um zu sagen, das ist meine Ebenengleichen, daraus folgt es gibt nur eine Ebene durch diesen beiden Punkte.
Ich versteh diesen restlichen Teil einfach noch nicht.
mfg
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> > > > Ebenengleichung:
> > > > [mm]\ E:\ \underbrace{a*x+(-6-2\,a)*y+1*z+4\,a+14}_{\blue{T(x,y,z)}}\ =\ 0[/mm]
> > [mm]\ E_{HNF}:\ \frac{T(x,y,z)}{|\vec{n}|}\ =\ T_{HNF}(x,y,z)\ =\ 0[/mm]
> > Setzt man in den Term [mm]T_{HNF}(x,y,z)[/mm] die Koordinaten
> > x,y,z eines beliebigen Punktes [mm]P(x/y/z)\in\IR^3[/mm] ein, so
> > liefert er als Ergebniswert
> >
> > [mm]\ T_{HNF}(x,y,z)\ =\ \begin{cases} 0& falls\quad P\in E \\ \pm Abstand(P,E)& sonst\ (bzw.\ immer\, !) \end{cases}[/mm]
>
> ich habe jetzt für die Ebenengleichung folgendes raus:
>
> [mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{\red{5a²-24a-37}}}\ =0[/mm]
Korrektur: Diese Gleichung habe ich zuerst irrtüm-
licherweise mit (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ) markiert. Sie ist aber falsch.
Unter der Wurzel sollte stehen: [mm] $\blue{ 5a^2+24\,a+37}$ [/mm]
> jetzt hast du gesagt ich soll einen beliebigen Punkt
> P(x/y/z) einsetzen um zu einem Abstand zu kommen. Das ist
> ja jetzt im Grunde die Anwendung der Abstandsformel d(P,E)
> Aber welchen beliegen Punkt soll ich da einsetzten?
> Setz ich P (0/0/0) ein kommt nichts bei raus ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Natürlich musst du jetzt den Nullpunkt einsetzen,
denn dieser Punkt soll ja von der Ebene den Abstand
d(P,E)=2 haben !
Aus der so entstehenden Gleichung kannst du dann die
in Frage kommenden Werte für a, und daraus mittels
der übrigen Gleichungen diejenigen für alle anderen
Parameter berechnen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> > ich habe jetzt für die Ebenengleichung folgendes raus:
> >
> > [mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a^2-24a-37}}\ =0[/mm]
> > Aber welchen beliegen Punkt soll ich da einsetzten?
> > Setz ich P (0/0/0) ein kommt nichts bei raus
>
>
> Natürlich musst du jetzt den Nullpunkt einsetzen,
> denn dieser Punkt soll ja von der Ebene den Abstand
> d(P,E)=2 haben !
>
> Aus der so entstehenden Gleichung kannst du dann die
> in Frage kommenden Werte für a, und daraus mittels
> der übrigen Gleichungen diejenigen für alle anderen
> Parameter berechnen.
Es war schon wieder mein Fehler, habe mich wieder verrechnet. Also ich habe für den Parameter a=-3,5 ; für b=1 ; c=1 und d=1 .
Damit ensteht die Gleichung E: -3,5x+y+z=1 .
Somit ist doch die Aufgabe gelöst oder? Es gibt eine Ebene die einen Abstand von 2 LE zum Ursprung hat und die Gleichung ist die ausgerechnete bzw die gerade Angegeben?
mfg
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> > > ich habe jetzt für die Ebenengleichung folgendes raus:
> > >
> > > [mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a^2-24a-37}}\ =0[/mm]
>
> > > Aber welchen beliegen Punkt soll ich da einsetzten?
> > > Setz ich P (0/0/0) ein kommt nichts bei raus
> >
> >
> > Natürlich musst du jetzt den Nullpunkt einsetzen,
> > denn dieser Punkt soll ja von der Ebene den Abstand
> > d(P,E)=2 haben !
> >
> > Aus der so entstehenden Gleichung kannst du dann die
> > in Frage kommenden Werte für a, und daraus mittels
> > der übrigen Gleichungen diejenigen für alle anderen
> > Parameter berechnen.
>
>
> Es war schon wieder mein Fehler, habe mich wieder
> verrechnet. Also ich habe für den Parameter a=-3,5 ; für
> b=1 ; c=1 und d=1 .
> Damit ensteht die Gleichung E: -3,5x+y+z=1 .
> Somit ist doch die Aufgabe gelöst oder? Es gibt eine
> Ebene die einen Abstand von 2 LE zum Ursprung hat und die
> Gleichung ist die ausgerechnete bzw die gerade Angegeben?
>
> mfg
Sorry, ich habe auch einen Fehler gemacht, indem ich
einen Fehler in deinem vorherigen posting zwar bemerkt,
aber dann doch nicht als falsch markiert habe, weil ich
abgelenkt war. Die richtige HNF-Gleichung muss lauten:
$ \ E:\ [mm] \underbrace{\frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a^2+24a+37}}}_{T_{HNF}(x/y/z)}\ [/mm] =0 $
Nullpunkt (x/y/z)=(0/0/0) eingesetzt ergibt:
[mm] $T_{HNF}(0/0/0)\ [/mm] =\ [mm] \frac{4a+14}{\wurzel{5a^2+24a+37}}$
[/mm]
So. Dieser Term stellt nun den Abstand des Nullpunktes
(allenfalls mit einem negativen Vorzeichen versehen)
von der Ebene mit dem Parameterwert a dar. Die
Schar aller möglichen Ebenen, die die vorgegebenen
zwei Punkte A und B enthalten, bilden ja ein sogenann-
tes Ebenenbüschel (wie die aufgefächerten Blätter eines
Buches). Nun müssen wir noch aus den unendlich vielen
Ebenen des Büschels jene (wahrscheinlich zwei) heraus-
picken, die die Abstandsbedingung erfüllen. Also setzt
man jetzt $\ [mm] T_{HNF}(0/0/0)\ [/mm] =\ +2$ oder $\ [mm] T_{HNF}(0/0/0)\ [/mm] =\ -2$ oder ein-
fach (zwei Fliegen in einem Schlag)
$\ [mm] \left(T_{HNF}(0/0/0)\right)^2\ [/mm] =\ 4$
Diese Gleichung führt auf 2 mögliche Werte für a.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Der_W |
> > > > [mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a^2-24a-37}}\ =0[/mm]
> Nullpunkt (x/y/z)=(0/0/0) eingesetzt ergibt:
>
> [mm]T_{HNF}(0/0/0)\ =\ \frac{4a+14}{\wurzel{5a^2+24a+37}}[/mm]
>
> So. Dieser Term stellt nun den Abstand des Nullpunktes
> (allenfalls mit einem negativen Vorzeichen versehen)
> von der Ebene mit dem Parameterwert a dar. Die
> Schar aller möglichen Ebenen, die die vorgegebenen
> zwei Punkte A und B enthalten, bilden ja ein sogenann-
> tes Ebenenbüschel (wie die aufgefächerten Blätter
> eines
> Buches). Nun müssen wir noch aus den unendlich vielen
> Ebenen des Büschels jene (wahrscheinlich zwei) heraus-
> picken, die die Abstandsbedingung erfüllen. Also setzt
> man jetzt [mm]\ T_{HNF}(0/0/0)\ =\ +2[/mm] oder [mm]\ T_{HNF}(0/0/0)\ =\ -2[/mm]
> oder ein-
> fach (zwei Fliegen in einem Schlag)
>
> [mm]\ \left(T_{HNF}(0/0/0)\right)^2\ =\ 4[/mm]
>
> Diese Gleichung führt auf 2 mögliche Werte für a.
Ich habe jetzt die 2 Werte für a ausgerechnet:
[mm]a1=-12+\wurzel{156}[/mm]
[mm]a2=-12-\wurzel{156}[/mm]
somit bekomme ich ja auch 2 werte für jeweils b und d heraus:
[mm]d1=-4*a1-14[/mm]
[mm]d2=-4*a2-14[/mm]
und
[mm]b1=2*a1-6[/mm]
[mm]b2=2*a2-6[/mm]
somit erhalte ich doch auch 2 Ebenengleichungen die ich in Normalenform aufschreiben muss, allerdings mit allen ausgerechneten Werten?
Da allerdings ja auch Kommazahlen dabei sind, sollte man da runden oder den kompletten Term hinschreiben?
also:
[mm] E: (-12+\wurzel{156})x+(-30+2*\wurzel{156})y+z=34-4*\wurzel{156}[/mm]
oder ausrechnen?
Wenn ich das alles habe ist die aufgabe erfüllt oder?
mfg
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> > > > > [mm]\ E:\ \frac{ax+(-2a-6)y+z+4a+14}{\wurzel{5a^2-24a-37}}\ =0[/mm]
>
> > Nullpunkt (x/y/z)=(0/0/0) eingesetzt ergibt:
> >
> > [mm]T_{HNF}(0/0/0)\ =\ \frac{4a+14}{\wurzel{5a^2+24a+37}}[/mm]
> >
> > So. Dieser Term stellt nun den Abstand des Nullpunktes
> > (allenfalls mit einem negativen Vorzeichen versehen)
> > von der Ebene mit dem Parameterwert a dar. Die
> > Schar aller möglichen Ebenen, die die vorgegebenen
> > zwei Punkte A und B enthalten, bilden ja ein sogenann-
> > tes Ebenenbüschel (wie die aufgefächerten Blätter
> > eines
> > Buches). Nun müssen wir noch aus den unendlich vielen
> > Ebenen des Büschels jene (wahrscheinlich zwei)
> heraus-
> > picken, die die Abstandsbedingung erfüllen. Also
> setzt
> > man jetzt [mm]\ T_{HNF}(0/0/0)\ =\ +2[/mm] oder [mm]\ T_{HNF}(0/0/0)\ =\ -2[/mm]
> > oder ein-
> > fach (zwei Fliegen in einem Schlag)
> >
> > [mm]\ \left(T_{HNF}(0/0/0)\right)^2\ =\ 4[/mm]
> >
> > Diese Gleichung führt auf 2 mögliche Werte für a.
>
>
> Ich habe jetzt die 2 Werte für a ausgerechnet:
> [mm]a1=-12+\wurzel{156}[/mm]
> [mm]a2=-12-\wurzel{156}[/mm]
Leider stimmen diese Werte nicht. Es gibt zwei ganz-
zahlige Lösungen. Auch die anderen Werte werden dann
ganzzahlig, so dass es "schöne" Gleichungen gibt.
Ich gebe dir mal die eine der beiden möglichen
Ebenen an:
[mm] E_1: 6\,x-18\,y+z+38=0
[/mm]
> somit bekomme ich ja auch 2 werte für jeweils b und d
> heraus:
> [mm]d1=-4*a1-14[/mm]
> [mm]d2=-4*a2-14[/mm]
> und
> [mm]b1=2*a1-6[/mm]
> [mm]b2=2*a2-6[/mm]
>
> somit erhalte ich doch auch 2 Ebenengleichungen die ich in
> Normalenform aufschreiben muss, allerdings mit allen
> ausgerechneten Werten?
> Da allerdings ja auch Kommazahlen dabei sind, sollte man
> da runden oder den kompletten Term hinschreiben?
> also:
> [mm]E: (-12+\wurzel{156})x+(-30+2*\wurzel{156})y+z=34-4*\wurzel{156}[/mm]
>
> oder ausrechnen?
Im vorliegenden Beispiel stellt sich die Frage nicht.
Sonst vielleicht als Faustregel: Ganz einfache Terme
mit z.B. [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{5} [/mm] exakt und dezimal gerundet angeben,
kompliziertere Ausdrücke (die sich nicht vereinfachen
lassen) im Ergebnis nur in vernünftig gerundeter Form.
> Wenn ich das alles habe ist die aufgabe erfüllt oder?
Ja. Es war doch nur die Anzahl der Ebenen und je eine
Ebenengleichung gefragt.
LG Al-Chw.
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[mm] $(-4\,a-14)^2\ [/mm] =\ ?$
klingelt's ?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 10.01.2010 | | Autor: | Der_W |
Ja, es hat geklinglet, binomische Formel.
Damit komm ich auf die Werte:
[mm]a_1=6[/mm]
[mm]a_2=-2[/mm]
und wenn ich beides jetzt noch einsetzte um auf die Parameter b und d zu kommen erhalte ich:
[mm]b_1=6[/mm] [mm]d_1=-38[/mm]
[mm]b_2=-10[/mm] [mm]d_2=-6[/mm]
Somit erhalte ich die Ebenengleichungen:
[mm]E_1=6x+6y+z=-38[/mm]
[mm]E_2=-2x-10y+z=-6[/mm]
und damit ist die Aufgabe doch rein theoretisch erfüllt?
mfg
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> Ja, es hat geklinglet, binomische Formel.
>
> Damit komm ich auf die Werte:
> [mm]a_1=6[/mm]
> [mm]a_2=-2[/mm]
>
> und wenn ich beides jetzt noch einsetzte um auf die
> Parameter b und d zu kommen erhalte ich:
>
> [mm]b_1=6[/mm] [mm]d_1=-38[/mm]
> [mm]b_2=-10[/mm] [mm]d_2=-6[/mm]
>
> Somit erhalte ich die Ebenengleichungen:
>
> [mm]E_1\red{=}\ \ 6x+6y+z=-38[/mm]
> [mm]E_2\red{=}\ -2x-10y+z=-6[/mm]
Da gehören keine Gleichheitszeichen hin, sondern
jeweils ein Doppelpunkt, welcher ausdrücken soll:
"hört, die Gleichung [mm] E_i [/mm] hat die folgende Gleichung:"
> und damit ist die Aufgabe doch rein theoretisch erfüllt?
Rein theoretisch: ja. Praktisch wäre dies der Fall,
falls du auch noch die Werte von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] richtig
berechnet hättest ...
Wir hatten da mal die Gleichung $ \ b\ =\ [mm] \red{\text{\Large{-}}}\ 2\,a\,-\,6 [/mm] $
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 So 10.01.2010 | | Autor: | Der_W |
Ja stimmt, wieder so ein Schusselfehler. Habe das minus in meinen Aufzeichnungen auch zu stehen.
Also: [mm]b_1=-18[/mm] und [mm]b_2=-2[/mm]
ok jetzt schreibe ich mir das noch alles Ordentlich auf und dann bin ich fertig :)
Dann danke ich dir vielmals für deine Hilfe, hätte das wohl nicht so hinbekommen :)
mfg
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