spez. Lösung d. Differentialgl < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Di 20.03.2007 | | Autor: | maronel |
| Aufgabe | N sei die zeitabhängige anzahl der individuen einer Tierpoöulation. n kann nur ganzzahlige werte annehmen. die funktion t [mm] \to [/mm] N(t) soll zu einer stetigen und differenzierbaren funktion t [mm] \to [/mm] f(t) erweitert werden.
Nimm an, dass die Geburtenrate N`(t) prportional der Anzahl der jeweils vorhandenen Individuen ist, also: N`(t)=kN(t)
a) No bezeichnet die größe der population zu zeit t=0. Gib die zugehörige spezielle Lösung der Differentialgleichung an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hallo. ich hab echt garkeine ahnung was ich da machen soll. müsste ich nicht N(t) gegeben haben?
ich bitte um eine Lösung mit ganz ausführlicher beschreibung, so dass das auch ein idiot (--> ich) verstehen kann
danke schonmal
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> N sei die zeitabhängige anzahl der individuen einer
> Tierpoöulation. n kann nur ganzzahlige werte annehmen. die
> funktion t [mm]\to[/mm] N(t) soll zu einer stetigen und
> differenzierbaren funktion t [mm]\to[/mm] f(t) erweitert werden.
> Nimm an, dass die Geburtenrate N'(t) prportional der
> Anzahl der jeweils vorhandenen Individuen ist, also:
> N'(t)=kN(t)
>
> a) No bezeichnet die größe der population zu zeit t=0. Gib
> die zugehörige spezielle Lösung der Differentialgleichung
> an.
> hallo. ich hab echt garkeine ahnung was ich da machen soll.
> müsste ich nicht N(t) gegeben haben?
Hallo,
nein, die Funktion N(t) sollst Du aus den Dir vorliegenden Angaben ermitteln.
Zweierlei weißt Du über N(t):
1.
> N'(t)=kN(t),
d.h. hre Ableitung ist das k-fache der Funktion
2.
> No bezeichnet die größe der population zu zeit t=0,
d.h. [mm] N(0)=N_0
[/mm]
Diese Informationen gilt es nun zu verarbeiten.
> N'(t)=kN(t)
==>
[mm] \bruch{N'(t)}{N(t)}=k
[/mm]
Wenn diese beiden Funktionen gleich sind, unterscheiden sich ihre Stammfunktionen nur um eine Konstante c.
Diese Stammfunktionen bestimmt man nun:
[mm] \integral{\bruch{N'(t)}{N(t)}dt}=\integral{kdt} [/mm] + c
Die rechte Seite ist einfach.
Für die linke Seite denk mal in Richtung Logarithmus.
Wenn Du beide Seiten hast, löst Du auf nach N(t).
Einsetzen der 0 liefert Dir dann [mm] N_0.
[/mm]
Eine andere Möglichkeit:
die Ableitung ist ein Vielfaches Deiner Funktion N(t).
Also hat die Funktion die Gestalt [mm] N(t)=c_1*e^{c_2t}
[/mm]
Durch Ableiten und das Einsetzen der 0 kannst Du so auch die Funktion ermitteln.
Gruß v. Angela
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