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Hallo allerseits,
Der Satz geht wie folgt:
Gegeben sei ein Matrix-Polynom:
[mm] $P\left(A\right) [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n}{c_kA^k}$ [/mm] mit $A [mm] \in M\left(n \times n, \mathbb{K}\right)$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\mathrm{spectrum}\left(P\left(A\right)\right) [/mm] = [mm] P\left(\mathrm{spectrum}\left(A\right)\right)$
[/mm]
und der Beweis dazu:
Für Potenzen von Matrizen gilt Folgendes:
[mm] $A^n [/mm] = [mm] U{\lambda}^nU^{-1}$
[/mm]
Wieso gilt das? Und wie kommt man hier auf dieses $U$?
Wende die obige Eigenschaft auf [mm] $P\left(A\right)$ [/mm] an:
[mm] $P\left(A\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}{c_kU{\lambda}^k}U^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow P\left(A\right)U [/mm] = [mm] U\left(\sum_{k=0}^{n}{c_k{\lambda}^k}\right)\qquad \Box$
[/mm]
Und wie hat man hier umgeformt? Außerdem verstehe ich nicht, warum der Beweis hier endet; Müßte man hier nicht noch das $U$ irgendwie "wegkriegen"? Warum stört es hier nicht?
Danke!
Grüße
Karl
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> Hallo allerseits,
Hallo!
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> Der Satz geht wie folgt:
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> Gegeben sei ein Matrix-Polynom:
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> [mm]P\left(A\right) := \sum_{k=0}^{n}{c_kA^k}[/mm] mit [mm]A \in M\left(n \times n, \mathbb{K}\right)[/mm]
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> Dann gilt:
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> [mm]\mathrm{spectrum}\left(P\left(A\right)\right) = P\left(\mathrm{spectrum}\left(A\right)\right)[/mm]
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> und der Beweis dazu:
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> Für Potenzen von Matrizen gilt Folgendes:
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> [mm]A^n = U{\lambda}^nU^{-1}[/mm]
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> Wieso gilt das? Und wie kommt man hier auf dieses [mm]U[/mm]?
Ich kann hier nur ein wenig spekulieren.  Also, uns interessiert nur das Spektrum, daher kann man $A$ ohne Einschränkung auf die direkte Summe der [mm] Eigenr\A'ume [/mm] einschränken, was de facto darauf hinausläuft anzunehmen, dass $A$ diagonalisierbar ist. Also gibt es eine Diagonalmatrix [mm] $\lambda$, [/mm] deren Einträge gerade die Eigenwerte, also das Spektrum von $A$ bilden, zu der $A$ ähnlich ist, oder auch: $A = U [mm] \lambda U^{-1}$.
[/mm]
Und dann ist klar, wie sich Potenzen von $A$ verhalten: [mm] $A^n [/mm] = U [mm] \lambda^n U^{-1}$.
[/mm]
> Wende die obige Eigenschaft auf [mm]P\left(A\right)[/mm] an:
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> [mm]P\left(A\right) = \sum_{k=0}^{n}{c_kU{\lambda}^k}U^{-1}[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow P\left(A\right)U = U\left(\sum_{k=0}^{n}{c_k{\lambda}^k}\right)\qquad \Box[/mm]
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> Und wie hat man hier umgeformt? Außerdem verstehe ich
> nicht, warum der Beweis hier endet; Müßte man hier nicht
> noch das [mm]U[/mm] irgendwie "wegkriegen"? Warum stört es hier
> nicht?
Man hat $A$ eingesetzt und dann von rechts mit $U$ multipliziert.
Nimm einen Basisvektor der Standardbasis [mm] $e_i$. [/mm] Dann gilt:
$P(A)U [mm] e_i [/mm] = U [mm] \left( \sum_{k=0}^n c_k \lambda^k \right) e_i [/mm] = U [mm] \left( \sum_{k=0}^n c_k \lambda_i^k e_i \right) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n c_k \lambda_i^k [/mm] (U [mm] e_i)$
[/mm]
Dabei habe ich die Diagonaleinträge von [mm] $\lambda$ [/mm] einfach [mm] $\lambda_i$ [/mm] genannt. Das waren aber gerade die Eigenwerte von $A$. Zusammengefasst: die Eigenwerte von $P(A)$ erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte von $A$ in das Polynom $P$ und das war die Aussage.
Ich hoffe, das passt ungefähr... die Notation mit [mm] $\lambda$ [/mm] als Diagonalmatrix hat mich etwas verwirrt.
Lars
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