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Hallo!
Ich habe mal wieder eine Aufgabe, wo ich nicht weiß womit ich zuerst Anfangen soll: Wenn V der von den Vektoren aufgespannte Vektorraum (1,2,3,4),(0,1,3,5) und (0,0,0,3) sei, würden dann dann (1,1,0,2) und (1,0,0,0) in diesen Vektorraum liegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 So 29.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
der [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum [/mm] $V$ hat doch die struktür
[m] V = \left\{ \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right) + \nu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) : \lambda, \, \mu, \, \nu \in \mathbb{R} \right\} \subset \mathbb{R}^4 [/m] damit ein vektor [mm] $\textbf{v}$ [/mm] also in diesem (unter-)vektorraum liegt, muss es [m] \lambda, \, \mu, \, \nu \in \mathbb{R} [/m] geben, so dass
[m] \textbf{v} = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right) + \nu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) [/m], also in deinem fall:
[m] \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right) + \nu \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right) [/m]. betrachtest du nun jede zeile einzeln, so erhälst du ein lineares gleichungssystem mit 4 zeilen und 3 unbekannten:
[m] \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 3& 0 \\ 4 & 5 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \lambda \\ \mu \\ \nu \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) [/m]
ist dieses gleichungssystem lösbar, so ist der vektor linearkombination der spannvektoren, lieget also im vektorraum, wenn das gleichungssystem jedoch keine lösung besitzt, so liegt des vektor nicht in $V$.
du siehst hier z.b. direkt aus der ersten zeile, dass [m] \lambda = 1 [/m] sein muss - anders kann die erste koordinate nicht erreicht werden usw.
probiere einfach mal dieses lgs zu lösen und für den zweiten vektor ebenfalls ein lgs aufzustellen, oder vielleicht siehst du die lösung auch ohne größere rechnung!
wenn probleme auftreten sollten melde dich.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mo 30.08.2004 | | Autor: | thongsong |
Danke Andreas!
Demnach hat sich das für den Vektor (1,1,0,2) bewahrheitet und für (1,0,0,0) nicht. Dein Lösungsweg ist ganz einfach zu rechnen *freu*. Mal eine blöde Frage. Ich kann doch eigentlich auch andere Variablen als deine 3 benutzen, oder sind diese bindent für das Verständnis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mo 30.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi e
ich habe auch erhalten, dass [m] \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) \in V [/m] und [m] \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \not\in V [/m]. die benennung der variablen kannst du im prinzip frei wählen, also z.b. auch [m] x, \, y, \, z [/m] oder so, wenn dir danach ist. es ist jedoch halbwegs weit verbreitet skalare für die skalarmultiplikation bei vektorräumen mit kleinen griechischen buchstaben zu bezeichnen, jedoch wird deine rechnung natürlich nicht falsch, falls du lateinische oder hebräische oder was auch immer für buchstaben wählst!
andreas
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