skalares Vielfaches < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 29.11.2005 | | Autor: | Reute |
Hallo ich mal wieder!!
Habe folgende aufgabe und möchte wissen ob ich da cauchy anwenden darf?
Sei K ein Körper und seien x,y [mm] \in K^{n}. [/mm] Alle homogenen linearen Gleichungen, die von x erfüllt werden, seien auch von y erfüllt, das heißt für alle [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] K gelte
[mm] a_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}x_{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_{1}y_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}y_{n} [/mm] = 0
Zeigen die, dass y ein skalres Vilefaches von x ist, das heißt es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit [mm] y=\lambda [/mm] k
Geht das mit cauchy oder muss ich da was anderes anwenden??
hättet ihr dann wenn meine Vermutung falsch ist einen Tipp??
Gruß
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> Hallo ich mal wieder!!
> Habe folgende aufgabe und möchte wissen ob ich da cauchy
> anwenden darf?
> Sei K ein Körper und seien x,y [mm]\in K^{n}.[/mm] Alle homogenen
> linearen Gleichungen, die von x erfüllt werden, seien auch
> von y erfüllt, das heißt für alle [mm]a_{1},...,a_{n} \in[/mm] K
> gelte
> [mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a_{1}y_{1}[/mm] +
> ... + [mm]a_{n}y_{n}[/mm] = 0
> Zeigen die, dass y ein skalres Vilefaches von x ist, das
> heißt es gibt ein [mm]\lambda \in[/mm] K mit [mm]y=\lambda[/mm] k
>
> Geht das mit cauchy oder muss ich da was anderes
> anwenden??
Hallo,
wie Du DA Cauchy (Du meinst doch Cauchyfolge?) anwenden willst, ist mir absolut schleierhaft. Es muß an den [mm] a_i [/mm] liegen, die scheinen ein Schlüsselreiz oder so zu sein.
Man muß in dieser Aufgabe doch eher über Vektorräume, Basis und Dimension nachdenken.
Leider weiß ich nicht, was schon alles dran war...
Man hat also zwei (feste) Vektoren x und y vorgegeben, mit der Eigenschaft, daß y jede lineare homogene Gleichung löst, welche auch x löst.
[mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 kann man ja auch so schreiben:
a*x=0 mit a:= [mm] \vektor{ a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n }.
[/mm]
Nochmal: wir haben es mit einem festen x zu tun.
Nun liegt es nahe, sich für die Menge aller a, welche
a*x=0 erfüllen, zu interessieren, also für [mm] {{x}}^{ \perp}:= [/mm] {a [mm] \in K^n: [/mm] a*x=0}.
Für x [mm] \not=0 [/mm] ist diese Menge ist ein Vektorraum der Dimension n-1.
[mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a_{1}y_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}y_{n}[/mm] = 0 sagt uns, daß
[mm] {{x}}^{ \perp} \subseteq {{y}}^{ \perp} [/mm] gilt.
x kann zu einer Orthogonalbasis (x, [mm] b^{(2)},...,b^{(n)}) [/mm] des [mm] K^n [/mm] ergänzt werden.
Es ist [mm] (b^{(2)},...,b^{(n)}) [/mm] eine Basis von [mm] {{x}}^{ \perp}.
[/mm]
Man kann y schreiben als [mm] y=\lambda [/mm] x+ [mm] \summe_{2=1}^{n}\lambda_ib^{(i)}
[/mm]
Nun betrachte [mm] b^{(i)}*y [/mm] ...
Gruß v. Angela
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