sinh cosh Identitäten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktionen sinh, und cosh stetig sind und beweisen Sie für $x,y [mm] \in \IR [/mm] $ die Identitäten:
1. $cosh(x+y) = coshx coshy + sinhx sinhy$
2. $sinh(x+y) = cosh x sinh y + sinhxcoshy$
3. [mm] $cosh^{2}x [/mm] = [mm] sinh^{2}x [/mm] + 1 $ |
Hallo,
Es ist: $sinh:= [mm] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ [/mm] und $coshx:= [mm] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] $
Die Stetigkeit folgt daraus, dass es Kompositionen von stetigen Funktionen sind und damit selber wieder stetig.
1. $cosh(x+y)= [mm] \frac{e^{x+y}+e^{-x-y}}{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{y}e^{x}+e^{-x}e^{-y}}{2}= (\frac{e^{x+y}+e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{x-y}}{4})+ (\frac{e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4}) [/mm] = [mm] (\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}) [/mm] + [mm] (\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}) [/mm] = coshxcoshy + sinhxsinhy$
2. $sinh(x+y)= [mm] \frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2}= (\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}) [/mm] + [mm] (\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}) =(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2})+(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}) [/mm] = coshxsinhy + sinhx coshy$
3. [mm] $cosh(x)^{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{2x}+e^{0}+e^{0}+e^{-2x}}{4}= \frac{e^{2x}-e^{0}-e^{0}+e^{-2x}+4}{4}= (\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{x}-e^{-x}}{2})+1 [/mm] = [mm] sinh^{2}+1 [/mm] $
Ist das so in Ordnung insgesamt??
Bin für jegliche Hilfestellung dankbar!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 So 07.08.2011 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich hab zwar jetzt nicht alles nachgerechnet, aber ich gehe davon aus, dass du es richtig gerechnet hast.
Der Ansatz schaut auf jeden Fall gut aus, so haette ich es auch beweisen wollen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Kroni,
> so ich auch
OK.
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
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