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| Aufgabe | Sei K ein Körper, in dem -1 [mm] \not= [/mm] 1 gilt.
Für a,c [mm] \in [/mm] K (c [mm] \not= [/mm] 0) betrachten wir die Matrix [mm] M=\pmat{ a & \bruch{1-a^2}{c} \\ c & -a } \in K^{2 \times 2}
[/mm]
(a) Für welche Werte a,c wird M singulär?
(b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge X [mm] \subset K^2 [/mm] von Mx = x.
(c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge Y [mm] \subset K^2 [/mm] von My = -y.
(d) Beweisen Sie: jedes Paar {x, y}, 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in [/mm] X, 0 [mm] \not= [/mm] y [mm] \in [/mm] Y ist eine Basis von [mm] K^2.
[/mm]
(e) Was passiert, wenn in K gilt -1 = 1? |
Ich habe gesucht, aber nur gefunden, dass eine reguläre Matrix nichtsingulär ist. Eine reguläre Matrix hat eine Inverse, stand auch noch dabei. Daraus schließe ich: singuläre Matrizen haben keine Inverse. Stimmt das?
Wie überprüft man, ob eine Matrix singulär ist?
Was bedeutet die Bedingung -1 [mm] \not= [/mm] 1? Mich verwirrt, dass das extra angegeben ist.
Was ist X und Y? Sind das die Spalten von M?
Wäre dankbar, wenn mir jemand meine Fragen beantworten könnte.
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Hallo Syladriel!
> Sei K ein Körper, in dem -1 [mm]\not=[/mm] 1 gilt.
> Für a,c [mm]\in[/mm] K (c [mm]\not=[/mm] 0) betrachten wir die Matrix
> [mm]M=\pmat{ a & \bruch{1-a^2}{c} \\ c & -a } \in K^{2 \times 2}[/mm]
>
> (a) Für welche Werte a,c wird M singulär?
> (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge X [mm]\subset K^2[/mm] von Mx =
> x.
> (c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge Y [mm]\subset K^2[/mm] von My =
> -y.
> (d) Beweisen Sie: jedes Paar {x, y}, 0 [mm]\not=[/mm] x [mm]\in[/mm] X, 0
> [mm]\not=[/mm] y [mm]\in[/mm] Y ist eine Basis von [mm]K^2.[/mm]
> (e) Was passiert, wenn in K gilt -1 = 1?
> Ich habe gesucht, aber nur gefunden, dass eine reguläre
> Matrix nichtsingulär ist. Eine reguläre Matrix hat eine
> Inverse, stand auch noch dabei. Daraus schließe ich:
> singuläre Matrizen haben keine Inverse. Stimmt das?
Ja, genau. Das kenne ich quasi als Definition: reguläre Matrizen sind invertierbar, alles andere nennt man singulär. 
> Wie überprüft man, ob eine Matrix singulär ist?
Am einfachsten über die Determinante - wenn sie [mm] \not=0 [/mm] ist, ist die Matrix invertierbar. Und bei [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen ist die Determinante ja gaaanz einfach zu berechnen.
> Was bedeutet die Bedingung -1 [mm]\not=[/mm] 1? Mich verwirrt, dass
> das extra angegeben ist.
Mmh - das dürfte wohl so was bedeutet wie: 1 ist nicht zu sich selbst invers.
Aber wofür das jetzt hier gut ist, weiß ich noch nicht.
> Was ist X und Y? Sind das die Spalten von M?
Naja, wenn da dieses Symbol hier: [mm] $\subset$ [/mm] steht, kann es doch eigentlich nur eine Menge sein. Da K dein Körper ist, dürften dann X und Y Mengen von Spaltenvektoren sein. Aber das ergibt sich eigentlich, wenn du einfach versuchst, Mx=x zu lösen, dann können die Lösungen x nämlich nur solche Vektoren sein. Und die einzelnen "Einträge" des Vektors dürfen nur Elemente aus K enthalten. Da du aber kein K angegeben hast, brauchst du das wohl gar nicht näher zu beachten.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hiho,
Bastiane hat ja eigentlich so gut wie alles schon beantwortet, noch der Vollständigkeithalber zum [mm]1 \not= -1[/mm] - Problem.
Das betrifft eigentlich nur die Teilaufgabe c).
Wenn -1 = 1 gilt, gilt ja:
[mm]My = -y = -1 * y = 1 * y = y[/mm]
und somit bekommst du bei c) eine andere Lösungsmenge und damit wirkt sich die natürlich auch auf Aufgabe d) aus. Damit ist die Lösungsmenge von b) nämlich gleich der Lösungsmenge von c) und schon kriegst du Probleme bei der Basisbildung in d).
MfG,
Gono.
MfG,
Gono.
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