simple Widerlegung einer Aussa < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 30.10.2007 | | Autor: | success |
| Aufgabe | | Widerlegen der Aussage (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C). |
Die Aussage ist offensichtlich falsch. Zeigen könnte ich dies, in dem ich [mm] A=\IR, B=\IN, C=\IQ [/mm] wähle, denn dann wäre die linke Seite zu [mm] \IQ [/mm] und die rechte zu [mm] \IR [/mm] äquivalent.
Beweisen soll ich das über die Element-Relation.
Also wähle ich einfach mal x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C.
=> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
Jetzt seh ich nur nicht den Widerspruch zur anderen Seite der Gleichung... -
vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Widerlegen der Aussage (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C = A [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm]
> C).
> Die Aussage ist offensichtlich falsch. Zeigen könnte ich
> dies, in dem ich [mm]A=\IR, B=\IN, C=\IQ[/mm] wähle, denn dann wäre
> die linke Seite zu [mm]\IQ[/mm] und die rechte zu [mm]\IR[/mm] äquivalent.
Jetzt nimmst Du mal exemplarisch ein Element, nämlich Wurzel 2, für das also beide Seiten unterschiedliche Ergebnisse liefern (d.h. es ist in der rechten, aber nicht in der linken) und nimmst das als Dein x (d.h. [mm] $x:=\sqrt{2}$, [/mm] A,B,C wie Du's oben gewählt hast), und versuchst es dann für beliebige Mengen und Elemente zu formulieren.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:29 Di 30.10.2007 | | Autor: | success |
Die beste Antwort, die ich mir vorstellen könnte. Das hat mir die Augen geöffnet. Dank dir.
Meine Lösung lautet jetzt:
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C beliebig.
=> (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
=> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
=> [mm] x\not\in [/mm] ((A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C),
aber x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C)
=> x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)
=> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)) -> Aussage widerlegt!
Ist das so okay? Kann man es vielleicht besser aufschreiben?
Mir gefällt das Vermischen der logischen Operatoren und der Mengenoperatoren nicht, aber das bleibt ja nicht aus, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Di 30.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
hi ... nur noch als hinweis:
aber x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \cup [/mm] $ (B $ [mm] \cap [/mm] $ x $ [mm] \not\in [/mm] $ C)
sowas kannst du nicht schreiben.
B $ [mm] \cap [/mm] $ x
Du kannst keinen Mengenoperator auf ein Element anwenden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Di 30.10.2007 | | Autor: | success |
Gut, sowas hab ich mir schon gedacht.
Aber ich weiß auch nicht, was ich stattdessen schreiben soll, denn x [mm] \in [/mm] B wäre an der Stelle ja nicht angebracht, da ich über B gar keine Aussage gemacht habe. Ich hätte also über alle drei Mengen eine Aussage bezüglich x machen sollen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
in der ausgangs Gelichung steht aber auch nirgendwo , dass x [mm] \not\in [/mm] C sein soll. Vielmehr ist x [mm] \in [/mm] (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \cap [/mm] $ C bzw. in der anderen Seite. Zeig durch Umformung wie ich unten angedeutet habe, dass die beiden seiten Ungleich sind  viel erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 01.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo success
Wenn du das in Element-Relationen shcreiben sollst, würde ich es auch machen
also:
x [mm] \in [/mm] ((A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \cap [/mm] $ C) = x [mm] \in [/mm] (A $ [mm] \cup [/mm] $ (B $ [mm] \cap [/mm] $ C))
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C = x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] (B $ [mm] \cap [/mm] $ C)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C = x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
...
weiter Umformen und zum Widerspruch führen
Gruß Guido
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Di 30.10.2007 | | Autor: | success |
Hey, das gefällt mir am besten! :)
Wäre das dann so okay?
[...]
$ [mm] \gdw [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ B) $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C = x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ ( x $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) = (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) = [mm] \neg [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) ) -> Widerspruch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
das sieht nach einem eindeutigen Widerspruch aus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 01.11.2007 | | Autor: | success |
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei den letzten beiden Schritten Fehler gemacht habe.
Könnte mir vielleicht noch jemand zeigen, wie ich
x $ [mm] \in [/mm] $ ((A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \cap [/mm] $ C) = x $ [mm] \in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ (B $ [mm] \cap [/mm] $ C))
$ [mm] \gdw [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C = x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ (B $ [mm] \cap [/mm] $ C)
$ [mm] \gdw [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ B) $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C = x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ ( x $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C)
$ [mm] \gdw [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C) $ [mm] \vee [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C) = (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ B) $ [mm] \wedge [/mm] $ (x $ [mm] \in [/mm] $ A $ [mm] \vee [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ C)
zum Widerspruch führe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 02.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo success,
du hattest bereits "success" und zwar offensichtlich ohne es selbst zu merken:
Man wiederlegt eine solche Aussage, die für alle Mengen A, B, C gelten soll,
wie $(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$, indem man ganz einfach eine Kombination von Mengen angibt, für die das nicht erfüllt ist.
Das hast du bereits in deiner Frage getan und das ist auch der korrekte Beweis für die Falschheit dieser Allaussage.
Alles andere ist überflüssig!
Gruß
Will
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