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| Aufgabe | Beweisen sie die folgende Formel für ein [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] :
[mm] sgn(\sigma)= \produkt_{1\le i |
Hallo,
ich hatte die Formel bislang noch nicht gesehen und wollte mal das ein oder andere Beispiel konkret rechnen. Dabei ist mir dann aufgefallen, ich weiss die Formel nicht zu benutzen... :(
kann mir da bitte mal jemand ein konkretes Bsp. zeigen?
[mm] \sigma=\pmat{ 1 & 2&3&4&5 \\ 3 &5&4&2&1 }
[/mm]
Und dann mal zur Aufgabe:
Ich denke da in die Richtung, dass man dort ja lauter Faktoren hat und sich das alles schön kürzen lässt, es müssten doch immer gleiche Differenzen auftauchen, jedoch mit unterschiedlichen Vorzeichen, oder?
Und die dann jeweils im Zähler und Nenner...na ja nur ne Idee, und wenn man die Formel schon nicht blickt, da will man sch ja auch nicht zu weit aus dem Fenster lehnen. ;)
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moin,
Zuerst hast du Recht, da kürzt sich fast alles weg, ja.
Wenn du das Signum bisher über Fehlstände berechnet hast dann solltest du den Beweis hinkriegen, wenn du dir mal ganz genau überlegst was sich da wegkürzt.
Und für das Beispiel musst du halt einfach einsetzen, und zwar jeweils $(i,j) = [mm] (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),\ldots$
[/mm]
Also [mm] $\frac{3-5}{1-2}*\frac{3-4}{1-3}*\ldots$
[/mm]
Wenn du da alle Paare $(i,j)$ einsetzen, die die Bedingung $1 [mm] \leq [/mm] i < j [mm] \leq [/mm] 5$ erfüllen und dann das Produkt bildest passt das.
Und wie gesagt kürzt sich hier wirklich eine ganze Menge weg; überleg dir mal was übrig bleibt, ggf. an ein paar kleineren Beispielen (vielleicht noch kleiner als dein jetziges Beispiel, damit du das Produkt schön schnell berechnen kannst ;) ).
lg
Schadow
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Hi,
ich habe jetzt mal einige Bsp. durchgespielt. Dabei ist mir aufgefallen, alles was kein Fehlstand ist, kürzt sich direkt heraus. Und bei den Fehlständen stellt man im Zähler fest, dass sie die übrigen Werte der Nenner mit -1 multipliziert sind. so dass sich dann alles kürzen lässt, aber bei den Fehlständen aus den Brüchen dannn -1 wird. Somit wird das ganze bei geraden Fehlständen +1 und bei ungeraden Fehlständen -1.
Ich zeige mal, was ich meine:
sei [mm] \pi=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1&3 }
[/mm]
1<2 und 2>1 also ein Fehlstand [mm] \Rightarrow sgn(\pi)=-1
[/mm]
jetzt mit Formel:
[mm] sgn(\pi)= \bruch{2-1}{1-2} [/mm] * [mm] \bruch{2-3}{1-3} [/mm] * [mm] \bruch{1-3}{2-3}=\bruch{-(1-2)}{1-2} [/mm] * [mm] \bruch{2-3}{1-3} [/mm] * [mm] \bruch{1-3}{2-3}=-1
[/mm]
Habe ich das richtig geblickt?
Und wenn, dann peil ich gerade nicht, wie ich das allg formuliertbekomme... :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Stoecki |
> Hi,
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> ich habe jetzt mal einige Bsp. durchgespielt. Dabei ist mir
> aufgefallen, alles was kein Fehlstand ist, kürzt sich
> direkt heraus. Und bei den Fehlständen stellt man im
> Zähler fest, dass sie die übrigen Werte der Nenner mit -1
> multipliziert sind. so dass sich dann alles kürzen lässt,
> aber bei den Fehlständen aus den Brüchen dannn -1 wird.
> Somit wird das ganze bei geraden Fehlständen +1 und bei
> ungeraden Fehlständen -1.
>
> Ich zeige mal, was ich meine:
>
> sei [mm]\pi=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1&3 }[/mm]
>
> 1<2 und 2>1 also ein Fehlstand [mm]\Rightarrow sgn(\pi)=-1[/mm]
>
> jetzt mit Formel:
>
> [mm]sgn(\pi)= \bruch{2-1}{1-2}[/mm] * [mm]\bruch{2-3}{1-3}[/mm] *
> [mm]\bruch{1-3}{2-3}=\bruch{-(1-2)}{1-2}[/mm] * [mm]\bruch{2-3}{1-3}[/mm] *
> [mm]\bruch{1-3}{2-3}=-1[/mm]
>
> Habe ich das richtig geblickt?
ja, das hast du
> Und wenn, dann peil ich gerade nicht, wie ich das allg
> formuliertbekomme... :(
du hast für deinen beweis zwei fälle: [mm] sign(\sigma) [/mm] = 1 und [mm] sign(\sigma) [/mm] = -1
jetzt musst du dir überlegen, was das bedeutet und dann überlegen, was bei dem produkt herauskommt. hilft das?
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