sigma-endlich < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 23.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \Omega=\IR , \mathcal{A}:=\{A \subset \IR | [/mm] A abzählbar oder [mm] A^c [/mm] abzählbar [mm]\}[/mm] sowie [mm] \mu:=\lambda|\mathcal{A} [/mm] (die Restriktion des Borel-Lebesque-Maßes [mm] \lambda [/mm] auf [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{B}[/mm]).
Zeigen Sie, dass [mm] \mu [/mm] nicht [mm] \sigma-endlich [/mm] ist indem sie einen Widerspruchsbeweis [mm] (\mu [/mm] ist [mm] \sigma-endlich) [/mm] durchführen. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe hier leider überhaupt keine Idee.
[mm] \sigma-endlich [/mm] bedeutet, dass es eine Folge [mm] (A_n) [/mm] von Mengen in [mm] \mathcal{A} [/mm] gibt für die gilt:
[mm] A_n [/mm] konvergiert isoton gegen [mm] \Omega
[/mm]
[mm]\mu(A_n)< \infty [/mm]
Das BL-Maß bezieht sich auf rechts-offene Intervalle, also wenn a,b [mm] \in \IR, [/mm] dann konvergiert die Mengenfolge [mm] ([a,b-\bruch{1}{n})) [/mm]isoton gegen das Intervall [mm] [a,b] [/mm]
Diese Folge ist dann aber nicht abzählbar und das Komplement auch nicht.
Ich finde hier einfach keinen Ansatz - was ist zu tun ?
Danke, Susanne.
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Hiho,
wenn du [mm] \IR [/mm] ausschöpfen möchtest mit [mm] A_n, [/mm] bleibt diesen nix anderes übrig, als irgendwann überabzählbar zu werden, denn nur aus einer aufsteigenden Folge von abzählbaren bzw. endlichen [mm] A_n [/mm] kannst du [mm] \IR [/mm] nicht erzeugen (warum?)
Nimm also an, dass es eine solche Folge gäbe, die [mm] \IR [/mm] ausschöpft (muss es bei [mm] \sigma-Endlichkeit [/mm] ja geben), d.h. die [mm] A_n's [/mm] müssen irgendwann überabzählbar werden mit [mm] \lambda(A_n) [/mm] < [mm] \infty [/mm] .... was heisst das dann für [mm] \IR\setminus A_n [/mm] ?
Liegt [mm] A_n [/mm] dann noch in A?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 23.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
vielen Dank für deine Hilfe !!
Das ist (zumindest im Moment noch) echt schwerer Stoff für mich:
> wenn du [mm]\IR[/mm] ausschöpfen möchtest mit [mm]A_n,[/mm] bleibt diesen
> nix anderes übrig, als irgendwann überabzählbar zu
> werden, denn nur aus einer aufsteigenden Folge von
> abzählbaren bzw. endlichen [mm]A_n[/mm] kannst du [mm]\IR[/mm] nicht
> erzeugen (warum?)
weil [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist
>
> Nimm also an, dass es eine solche Folge gäbe, die [mm]\IR[/mm]
> ausschöpft (muss es bei [mm]\sigma-Endlichkeit[/mm] ja geben), d.h.
> die [mm]A_n's[/mm] müssen irgendwann überabzählbar werden mit
> [mm]\lambda(A_n)[/mm] < [mm]\infty[/mm] .... was heisst das dann für
> [mm]\IR\setminus A_n[/mm] ?
Aber wenn ich annehme, die Folge [mm] (A_n) [/mm] sei abzählbar, dann kann ich doch nicht sagen, dass sie irgendwann überabzählbar werden muss ?
Und wenn [mm] (A_n) [/mm] gegen [mm] \IR [/mm] geht, dann ist [mm] \IR \setminus A_n [/mm] doch die leere Menge ?
Und wenn [mm]A_n=\sigma-endlich [/mm] ist, also [mm]\lambda(A_n)[/mm] < [mm]\infty[/mm], dann ist [mm] \IR \setminus A_n [/mm] nicht die leere Menge ?
Ist das der Widerspruch ?
Danke, Susanne.
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Nun hatte ich meinen Beitrag schon fast fertig, dann verschwand das Eingabefeld :/
Naja, auf ein neues:
> Das ist (zumindest im Moment noch) echt schwerer Stoff für mich:
Das macht später die Übung 
> weil $ [mm] \IR [/mm] $ überabzählbar ist
Ja, das geht aber auch ein bisschen genauer.
Nehmen wir an wir wären [mm] \sigma-Endlich, [/mm] dann gäbe es eine Folge [mm] A_n [/mm] für die gilt:
[mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_n A_n$ [/mm] mit [mm] $\lambda(A_n) [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Wären die [mm] A_n [/mm] nun alle abzählbar, was würde dann für [mm] \bigcup_n A_n [/mm] gelten und warum?
Gleichzeitig wissen wir [mm] $\lambda(\IR) [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] d.h. für unsere [mm] A_n [/mm] muss auch irgendwann gelten [mm] $\lambda(A_n) [/mm] > 0$ (warum?)
Nennen wir unser erstes [mm] A_n, [/mm] das überabzählbar ist und für das gilt [mm] $\lambda(A_n) [/mm] > 0$ mal [mm] A_{n_0}.
[/mm]
Das ist nun überabzählbar und es gilt [mm] $\lambda(A_{n_0}) [/mm] = c > 0$
Betrachte nun mal die Menge [mm] $A_{n_0}^c [/mm] = [mm] \IR\setminus{A_{n_0}}$
[/mm]
Welches Maß hat diese Menge und was gilt für die Mächtigkeit davon?
Wie steht unser [mm] A_{n_0} [/mm] denn dann zu A?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Fr 23.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
> Nun hatte ich meinen Beitrag schon fast fertig, dann
> verschwand das Eingabefeld :/
ohje, um so mehr VIELEN DANK für deine tolle Hilfe !!
> Nehmen wir an wir wären [mm]\sigma-Endlich,[/mm] dann gäbe es eine
> Folge [mm]A_n[/mm] für die gilt:
>
> [mm]\IR = \bigcup_n A_n[/mm] mit [mm]\lambda(A_n) < \infty[/mm]
>
> Wären die [mm]A_n[/mm] nun alle abzählbar, was würde dann für
> [mm]\bigcup_n A_n[/mm] gelten und warum?
Dann wäre auch [mm]\bigcup_n A_n[/mm] abzählbar und könnte nicht [mm] \IR [/mm] sein.
Ist das nicht schon der Widerspruch ?
>
> Gleichzeitig wissen wir [mm]\lambda(\IR) = \infty[/mm], d.h. für
> unsere [mm]A_n[/mm] muss auch irgendwann gelten [mm]\lambda(A_n) > 0[/mm]
> (warum?)
Weil ein Maß [mm] \ge 0 [/mm] sein muss ?
>
> Nennen wir unser erstes [mm]A_n,[/mm] das überabzählbar ist und
> für das gilt [mm]\lambda(A_n) > 0[/mm] mal [mm]A_{n_0}.[/mm]
>
> Das ist nun überabzählbar und es gilt [mm]\lambda(A_{n_0}) = c > 0[/mm]
>
> Betrachte nun mal die Menge [mm]A_{n_0}^c = \IR\setminus{A_{n_0}}[/mm]
>
> Welches Maß hat diese Menge und was gilt für die
> Mächtigkeit davon?
Diese Menge hätte das Maß [mm] \infty-c [/mm].
> Wie steht unser [mm]A_{n_0}[/mm] denn dann zu A?
[mm]A_{n_0}[/mm] wäre das Komplement zu A.
[mm]\mu(A_{n_0})=\infty [/mm] und [mm] \mu(A)=\sigma[/mm]-endlich ?
Vielen Dank, Susanne.
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Hiho,
> > Wären die [mm]A_n[/mm] nun alle abzählbar, was würde dann für
> > [mm]\bigcup_n A_n[/mm] gelten und warum?
> Dann wäre auch [mm]\bigcup_n A_n[/mm] abzählbar und könnte nicht
> [mm]\IR[/mm] sein.
Korrekt.
> Ist das nicht schon der Widerspruch ?
Nein, wer sagt denn, dass die [mm] A_n [/mm] nicht überabzählbar sein dürfen?
Es liegen sehr wohl überabzählbare Mengen in der Sigma-Algebra [mm] \mathcal{A}, [/mm] z.B [mm] $\IR\setminus\{0\}$
[/mm]
> > Gleichzeitig wissen wir [mm]\lambda(\IR) = \infty[/mm], d.h. für
> > unsere [mm]A_n[/mm] muss auch irgendwann gelten [mm]\lambda(A_n) > 0[/mm]
> > (warum?)
> Weil ein Maß [mm]\ge 0[/mm] sein muss ?
Nein, z.B. hat [mm] \IQ [/mm] das Maß 0. Null ist ein gültiger Wert für ein Maß, wie jede andere positive Zahl auch 
> > Nennen wir unser erstes [mm]A_n,[/mm] das überabzählbar ist und
> > für das gilt [mm]\lambda(A_n) > 0[/mm] mal [mm]A_{n_0}.[/mm]
> >
> > Das ist nun überabzählbar und es gilt [mm]\lambda(A_{n_0}) = c > 0[/mm]
>
> >
> > Betrachte nun mal die Menge [mm]A_{n_0}^c = \IR\setminus{A_{n_0}}[/mm]
>
> >
> > Welches Maß hat diese Menge und was gilt für die
> > Mächtigkeit davon?
> Diese Menge hätte das Maß [mm]\infty-c [/mm].
Korrekt, also wieder [mm] \infty.
[/mm]
>
> > Wie steht unser [mm]A_{n_0}[/mm] denn dann zu A?
> [mm]A_{n_0}[/mm] wäre das Komplement zu A.
> [mm]\mu(A_{n_0})=\infty[/mm] und [mm]\mu(A)=\sigma[/mm]-endlich ?
Hier hätte ich vielleicht [mm] \mathcal{A} [/mm] schreiben sollen.
Ich meinte nämlich:
Wenn [mm] A_{n_0} [/mm] überabzählbar und vom Maß c > 0 ist und [mm] A^c_{n_0} [/mm] vom Maß unendlich und ebenfalls überabzählbar, wie steht die Menge dann bzgl. der Sigma-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] ?
Den letzten Schluß (und damit den Widerspruch), solltest du schon selbst finden, sonst hast du es nicht verstanden
MFG,
Gono.
>
> Vielen Dank, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Fr 23.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
noch eine letzte Frage:
> > > Gleichzeitig wissen wir [mm]\lambda(\IR) = \infty[/mm], d.h. für
> > > unsere [mm]A_n[/mm] muss auch irgendwann gelten [mm]\lambda(A_n) > 0[/mm]
Warum muss das irgendwann gelten, bzw. geht auch [mm] \infty [/mm] ?
> Wenn [mm]A_{n_0}[/mm] überabzählbar und vom Maß c > 0 ist und
> [mm]A^c_{n_0}[/mm] vom Maß unendlich und ebenfalls überabzählbar,
> wie steht die Menge dann bzgl. der Sigma-Algebra
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ?
In der Sigma-Algebra darf nur entweder/oder vorkommen
DANKE, Susanne.
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Würde für die [mm] A_n [/mm] immer gelten [mm] \lambda(A_n) [/mm] = 0 wäre nach [mm] \sigma-Endlichkeit [/mm] ja:
[mm] $\lambda(\IR) [/mm] = [mm] \lambda(\bigcup_n A_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \lambda(A_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 0 = 0$
was ein Widerspruch wäre.
Weiterhin kann [mm] $\lambda(A_n)=\infty$ [/mm] für KEIN n gelten, da für [mm] \sigma-Endlichkeit [/mm] ja gelten muss [mm] $\lambda(A_n) [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Sa 24.10.2009 | | Autor: | SusanneK |
Vielen vielen Dank für deine Mühe und deine tollen Erklärungen !
LG, Susanne.
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